Bài học giúp học sinh biết được thế nào là tiệm cận ngang, tiệm cận đứng. Qua một số ví dụ, học sinh nắm được phương pháp tìm tiệm của đồ thị hàm số.
NỘI DUNG BÀI HỌC
- Lý thuyết 1. Đường tiệm cận ngang
- y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f[x] nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau
\[\lim_{x\rightarrow -\infty } f[x] = b\] \[\lim_{x\rightarrow +\infty } f[x] = b\]
- Chú ý
ĐK để đồ thị hàm số \[y = \frac{P[x]}{Q[x]}\] , P[x], Q[x] là các đa thức có tiệm cận ngang là bậc tử ≤ bậc mẫu. \[y = \frac{a_nx^n + ... + a_0}{b_mx^m + ... + b_0} \ \ \ m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\] ĐK có tiệm cận ngang n ≤ m
Kết quả:
n = m: tiệm cận ngang \[y = \frac{a_n}{b_m}\]
n < m: tiệm cận ngang y = 0
2. Đường tiệm cận đứng
- x = a được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f[x] nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau
\[\lim_{x\rightarrow a^+} f[x] = \pm \infty\]
\[\lim_{x\rightarrow a^-} f[x] = \pm \infty\]
- Chú ý
+] x = a là đường tiệm cận đứng của đồ thị y = f[x] thì a ∉ TXĐ f[x]. +] Đối với hàm phân thức \[y = \frac{P[x]}{Q[x]}\] thì a là nghiệm Q[x] = 0.
- Bài tập VD1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \[y=\frac{3x-1}{2x+5}\]
Giải: \[\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{3x-1}{2x+5} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3-\frac{1}{x}}{2+\frac{5}{x}} = \frac{3}{2}\] Vậy \[y = \frac{3}{2}\] là đường tiệm cận ngang. \[\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}} y = -\infty\] Vậy \[x = -\frac{5}{2}\] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. VD2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{4x + 5}{3x - 1}\] Giải: \[\lim_{x \rightarrow -\infty } y = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{4x + 5}{3x - 1} = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{4 + \frac{5}{x}}{3-\frac{1}{x} }= \frac{4}{3}\] Vậy \[y = \frac{4}{3}\] là đường tiệm cận ngang. \[\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}^-} = - \infty\] Vậy \[y = \frac{1}{3}\] là đường tiệm cận đứng. VD3: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[f[x] = \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\] Giải: \[\lim_{x\rightarrow +\infty } f[x] = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\] \[= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2 + \frac{9}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{5}{x}}\left [ \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2}} [\ do\ x > 0]= \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right ]\] \[=\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] Vậy \[y = \frac{1}{2}\] là tiệm cận ngang. \[\lim_{x\rightarrow -\infty } f[x] = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\] \[= \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2 + \frac{9}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{5}{x}}\] \[= \frac{2}{-1 + 3} = 1\] Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.
VD4: Tìm m để đồ thị ham số \[y = \frac{[2m + 3]x + 5}{3x - 1}\] có tiệm cận ngang y = 2.
Giải: \[\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{[2m + 3]x + 5}{3x - 1}\] \[\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2m + 3 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{1}{x}}\] \[= \frac{2m+3}{3}\] Vậy \[y= \frac{2m+3}{3}\] là tiệm cận ngang. y = 2 là đường tiệm cận ngang khi \[\frac{2m+3}{3} = 2\] ⇔ 2m + 3 = 6 ⇔ 2m = 3 \[\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\] VD5: Tìm m để đồ thị hàm số \[y = \frac{4x + 6}{[2m+1]x + 1}\] không có tiệm cận. Giải:
TH1: \[2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{1}{2}\]
Khi đó y = 4x + 6 Vậy \[m = -\frac{1}{2}\] thỏa mãn
TH2:
2m + 1 ≠ 0 \[[2m + 1]x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2m+1}\] \[I=\lim_{x \rightarrow {-\frac{1}{2m+1}}+} \frac{4x + 6}{[2m + 1]x + 1}\] \[I = \lim_{x \rightarrow {-\frac{1}{2m+1}}+} [4x + 6] = 4.\left [ -\frac{1}{2m+1} \right ] + 6\] \[= \frac{-4 + 12m + 6}{2m + 1} = \frac{12m + 2}{2m + 1}\] 12m + 2 ≠ 0 thì \[I = \pm \infty\] 12m + 2 = 0 ⇔ \[m = - \frac{1}{6}\] thì \[y = \frac{4x + 6}{\left [ -\frac{1}{3} + 1 \right ]x + 1} = 6\] \[m = - \frac{1}{6}\] [thỏa mãn]
Vậy \[\left \{ -\frac{1}{2};-\frac{1}{6} \right \}\]
NỘI DUNG KHÓA HỌC
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Hàm số mũ và hàm số logarit: Định nghĩa, đào hàm, khảo sát hàm số mũ, hàm số logarit. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.
Đồ thị hàm số mũ và logarit là phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình học lớp 12. Để thành thạo cách vẽ đồ thị hàm mũ và logarit, các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết và giải quyết từng bước làm bài toán dạng này nhé!
Trước khi đi vào từng phần lý thuyết về đồ thị của hàm số mũ và logarit, VUIHOC sẽ điểm lại cho các em lý thuyết về hàm số mũ và hàm số logarit trong chương trình Toán lớp 12 một cách khái quát và ngắn gọn nhất, bởi vì khi chúng ta nắm vững lý thuyết thì mới có thể làm bài tập đồ thị chính xác, hiểu bản chất và nhanh nhất được.
Chi tiết hơn, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu full lý thuyết về hàm số mũ - hàm số logarit nói chung và dạng toán đồ thị hàm số mũ và logarit. Các em nhớ tải về để tiện cho ôn tập nhé!
\>>>Tải xuống trọn bộ tài liệu lý thuyết về đồ thị hàm số mũ và logaritn$
TH2: Với $0b>0\Rightarrow a^n>b^n$
TH2: Với số mũ âm $nb>0\Rightarrow a^n0$, $a\neq 1$:
1.2. Lý thuyết về hàm số logarit
1.2.1. Định nghĩa và đạo hàm của hàm số logarit
Cùng VUIHOC ôn tập lại định nghĩa về hàm số logarit trước khi đi vào xét đồ thị hàm mũ và logarit trong chương trình THPT nhé:
Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.
Tập xác định: Hàm số $y=log_ax$ $[00$. Nếu a chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $00$ nếu $n$ lẻ; $P[x]\neq 0$ nếu $n$ chẵn.
Về đạo hàm hàm logarit, ta có những công thức như sau:
Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:
Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au[x]$. Đạo hàm là:
Đầy đủ hơn, các em tham khảo bảng công thức đạo hàm logarit dưới đây:
1.2.2. Tính chất hàm số logarit
Khi xét đồ thị của hàm số mũ và logarit, các em cần nhớ tính chất rất quan trọng và mang tính quyết định đúng sai của bài toán. Cụ thể, tính chất của hàm số logarit giúp chúng ta xác định được chiều biến thiên và nhận dạng đồ thị dễ hơn.
Với hàm số $y=log_ax\Rightarrow y'=\frac{1}{xlna} [\forall x\in [0;+\infty ]]$. Ta có:
- Với $a>1$ ta có $[log_ax]'=\frac{1}{xlna}>0$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $[0;+\infty ]$, đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
- Với $ 0