- LG a
- LG b
Cho hai điểm \[M, N\] nằm trên đường tròn đường kính \[AB = 2R\]. Gọi \[I\] là giao điểm của hai đường thẳng \[AM, BN\].
LG a
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\]
Phương pháp giải:
Sửa dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý:\[\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\]
Lời giải chi tiết:
AB là đường kính nên \[\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\]
Ta có: \[{\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right] \]
\[= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {BM} \] [do AM\[\bot\] MB] nên \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} +0\] \[=\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\]
Hay\[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}\]
Ta có: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} \left[ {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right] \]\[= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {AN} \] [vì BN \[\bot\] NA] nên \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} +0\]\[=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\].
Hay \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\]
LG b
Tính \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \]theo \[R\].
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{& \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr &= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\left[ { - \overrightarrow {AB} } \right]\cr &= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right] \cr & = \overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right]\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \]