Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và AC, N là điểm trên cạnh BD sao cho BN = 2ND. Gọi F là giao điểm của AD và mp[MNK]. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
A. AF = FD B. AF = 2FD
C. AF = 3FD D. FD = 2AF
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định giao điểm \[I\] [tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng \[[KMN]\] mà cắt với \[AD\].
- Qua \[D\] kẻ đường thẳng song song với \[BC\], chứng minh \[D\] là trung điểm của \[CI\].
- Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Trong mp\[\left[ {BCD} \right]\], gọi \[I = MN \cap CD\] \[ \Rightarrow I \in CD \subset \left[ {ACD} \right]\].
Trong mp\[\left[ {ACD} \right]\], gọi \[F = KI \cap AD\] \[ \Rightarrow F \in AD,F \in KI \subset \left[ {KMN} \right]\].
Vậy \[F = AD \cap \left[ {KMN} \right]\].
Kẻ DL // BC [L ϵ MI]
\[{{DL} \over {BM}} = {{DN} \over {BN}} = {1 \over 2} \Rightarrow DL = {1 \over 2}BM\] \[\Rightarrow DL = {1 \over 2}CM\] [do \[BM=CM\]].
Mà \[DL//CM \Rightarrow \dfrac{{DI}}{{CI}} = \dfrac{{DL}}{{CM}} = \dfrac{1}{2}\]
D là trung điểm CI.
Từ đó suy ra F là trọng tâm ΔACI nên AF = 2FD.
Chọn [B]