- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Tính tổng, tích các nghiệm dựa vào công thức nghiệm \[z _{1,2}= {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\]
Lời giải chi tiết:
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \[A{z^2} + Bz + C = 0\] là
\[z_{1,2} = {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\left[ {{\delta ^2} = {B^2} - 4AC} \right]\]
Do đó:
\[{z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - B + \delta }}{{2A}} + \dfrac{{ - B - \delta }}{{2A}} \] \[= \dfrac{{ - 2B}}{{2A}} = - \dfrac{B}{A}\]
\[{z_1}{z_2} = \dfrac{{ - B + \delta }}{{2A}}.\dfrac{{ - B - \delta }}{{2A}} \] \[= \dfrac{{{{\left[ { - B} \right]}^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}} \] \[= \dfrac{{{B^2} - \left[ {{B^2} - 4AC} \right]}}{{4{A^2}}} \] \[= \dfrac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \dfrac{C}{A}\]
Do đó
\[\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\
{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}
\end{array} \right.\]
Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.
LG b
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \[4 i\] và tích của chúng bằng \[5[1 i]\]
Phương pháp giải:
Giả sử \[{z_1} + {z_2} = \alpha \]; \[{z_1}{z_2} = \beta \].
Chứng minh\[{z_1},{z_2}\]là hai nghiệm phương trình:\[ {z^2} - \alpha z + \beta = 0\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[{z_1} + {z_2} = \alpha \]; \[{z_1}{z_2} = \beta \]
\[{z_1},{z_2}\]là hai nghiệm phương trình:
\[\left[ {z - {z_1}} \right]\left[ {z - {z_2}} \right] = 0\] \[\Leftrightarrow {z^2} - \left[ {{z_1} + {z_2}} \right]z + {z_1}{z_2} = 0\] \[ \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta = 0\]
Theo đề bài \[{z_1} + {z_2} = 4 - i\]; \[{z_1}{z_2} = 5\left[ {1 - i} \right]\,\,\]
nên \[{z_1},{z_2}\]là hai nghiệm phương trình
\[{z^2} - \left[ {4 - i} \right]z + 5\left[ {1 - i} \right] = 0\][*]
\[\Delta = {\left[ {4 - i} \right]^2} - 20\left[ {1 - i} \right] \] \[= 16 - 1 - 8i - 20 + 20i = - 5 + 12i\]
Giả sử \[{\left[ {x + yi} \right]^2} = - 5 + 12i \] \[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = - 5 \hfill \cr 2xy = 12 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} = - 5 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\Delta\] có hai căn bậc hai là \[ \pm \left[ {2 + 3i} \right]\].
Phương trình bậc hai [*] có hai nghiệm:
\[{z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left[ {2 + 3i} \right]} \right] = 3 + i\]
\[{z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left[ {2 + 3i} \right]} \right] = 1 - 2i\]
LG c
Có phải mọi phương trình bậc hai \[{z^2} + Bz + C = 0\] [\[B, C\] là hai số phức] nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \[B, C\] là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải chi tiết:
Nếu phương trình \[{z^2} + Bz + C = 0\]có hai nghiệm \[{z_1},{z_2}\]là hai số phức liên hợp, \[{z_2} = \overline {{z_1}} \], thì theo công thức Vi-ét:
\[\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - B\\{z_1}{z_2} = C\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + \overline {{z_1}} = - B\\{z_1}.\overline {{z_1}} = C\end{array} \right.\]
Mà \[{z_1} = x + yi \Rightarrow \overline {{z_1}} = x - yi\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {z_1} + \overline {{z_1}} = 2x \in \mathbb{R}\\{z_1}.\overline {{z_1}} = {x^2} + {y^2} \in \mathbb{R}\end{array}\]
Do đó B, C thực.
Điều ngược lại không đúng vì nếu \[B, C\] thực thì \[\Delta = {B^2} - 4AC > 0\]hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. [ Khi \[\Delta \le 0\]thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp].
Ví dụ:Phương trình \[z^2+2z-3=0\] có nghiệm là z = 1; z =-3.