- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm các giới hạn sau :
LG a
\[\lim \left[ {3{n^3} - 7n + 11} \right]\]
Phương pháp giải:
Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung và sử dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \lim \left[ {3{n^3} - 7n + 11} \right] \cr &= \lim {n^3}\left[ {3 - {7 \over {{n^2}}} + {{11} \over {{n^3}}}} \right] = + \infty \cr
& \text{ vì }\,{{\mathop{\rm limn}\nolimits} ^3} = + \infty \cr &\text{ và }\lim \left[ {3 - {7 \over {{n^2}}} + {{11} \over {{n^3}}}} \right] = 3 > 0 \cr} \]
LG b
\[\lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \cr &= \lim \sqrt {{n^4}\left[ {2 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right]} \cr &= \lim {n^2}.\sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^4}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\;\lim {n^2} = + \infty \cr & \text{ và }\lim \sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^4}}}} = \sqrt 2 > 0 \cr} \]
LG c
\[\lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} \]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} \cr &= \lim \sqrt[3]{{{n^3}\left[ {\frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^2}}} - 1} \right]}}\cr &= \lim n\root 3 \of {{1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^2}}} - 1} = - \infty \cr
& \text{ vì }\lim n = + \infty \cr &\text{ và }\lim \root 3 \of {{1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^2}}} - 1} = - 1 < 0 \cr} \]
LG d
\[\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} .\]
Phương pháp giải:
Đặt \[3^n\] ra làm nhân tử chung và tính giới hạn.
Chú ý sử dụng giới hạn đã chứng minh ở bài tập 4 trang 130
Lời giải chi tiết:
\[\sqrt {{{2.3}^n} - n + 2}\] \[= \lim \sqrt {{3^n}\left[ {2 - \frac{n}{{{3^n}}} + \frac{2}{{{3^n}}}} \right]} \]\[ = {\left[ {\sqrt 3 } \right]^n}\sqrt {2 - {n \over {{3^n}}} + {2 \over {{3^n}}}} \] với mọi n.
Vì \[\lim {n \over {{3^n}}} = 0\] [xem bài tập 4] và \[\lim {2 \over {{3^n}}} = 0\]
Nên \[\lim \sqrt {2 - {n \over {{3^n}}} + {2 \over {{3^n}}}} = \sqrt 2 > 0\]
Ngoài ra \[\lim {\left[ {\sqrt 3 } \right]^n} = + \infty \]
Do đó \[\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} = + \infty \]