Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên \[n 2\], ta luôn có đẳng thức sau :
\[\left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right] = {{n + 1} \over {2n}}\]
Lời giải chi tiết
+] Với \[n = 2\] ta có \[1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\] [đúng]. Vậy [1] đúng với \[n = 2\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có
\[\left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right] = {{k + 1} \over {2k}}\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[\left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}} \right] = {{k + 2} \over {2\left[ {k + 1} \right]}}\]
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
\[\eqalign{
& \left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right]\left[ {1 - {1 \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}} \right] \cr
& = {{k + 1} \over {2k}}\left[ {1 - {1 \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}} \right] \cr
& = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left[ {k + 2} \right]} \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}={{k + 2} \over {2\left[ {k + 1} \right]}} \cr} \]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] do đó [1] đúng với mọi \[n 2\]