- LG a
- LG b
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = x - {2 \over {x - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y' = 1 + {2 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} > 0,\forall x \in D\]
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[[ - \infty ;1]\] và \[[1; + \infty ]\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \]
Do đó \[x=1\] là tiệm cận đứng.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [y - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ { - {2 \over {x - 1}}} \right] = 0\]
Vậy \[y=x\] là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \[Ox\] tại \[[-1;0],[2;0]\]
Đồ thị giao \[Oy\] tại \[[0;2]\]
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \[[3;3]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' = 1 + {2 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \[M\left[ {{x_o};{{x_o} - {2 \over {{x_o} - 1}}}} \right] \in \left[ C \right]\] là:
\[\left[ d \right]:\,y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} \] \[= \left[ {1 + {2 \over {{{\left[ {{x_o} - 1} \right]}^2}}}} \right]\left[ {x - {x_o}} \right]\,\left[ {x_o \ne 1} \right]\]
Vì \[\left[ {3;3} \right] \in d\] nên \[3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left[ {{x_o} - 1} \right]}^2} + 2} \over {{{\left[ {{x_o} - 1} \right]}^2}}}\left[ {3 - {x_o}} \right]\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ {3 - {x_o}} \right]{\left[ {{x_o} - 1} \right]^2} + 2\left[ {{x_o} - 1} \right] \cr&= \left[ {{x_o^2} - 2{x_o} + 3} \right]\left[ {3 - {x_o}} \right] \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {3 - {x_o}} \right]\left[ {x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right] + 2{x_o} - 2\\
= 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\
\Leftrightarrow 3x_o^2 - x_o^3 - 6{x_o} + 2x_o^2 + 3 - {x_o} + 2{x_o} - 2\\
= 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\
\Leftrightarrow 4{x_o} - 8 = 0\\
\Leftrightarrow {x_o} = 2\\
\Rightarrow {y_o} = 2 - \frac{2}{{2 - 1}} = 0
\end{array}\]
\[ \Rightarrow M\left[ {2;0} \right]\]
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[y = 3\left[ {x - 2} \right]\]hay \[y = 3x - 6.\]
Cách khác:
Gọi phương trình đường thẳng [d] có hệ số góc k đi qua A[3; 3] có dạng
y-3=k[x-3] y=k[x-3]+3
[d] là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Thế [2] vào [1] ta được:
\[\begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \left[ {1 + \frac{2}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}} \right]\left[ {x - 3} \right] + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 2}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\left[ {x - 3} \right] + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{\left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{\left[ {{x^2} - x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} + \frac{{3{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\\
\Rightarrow \left[ {{x^2} - x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]\\
= \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right] + 3\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right]\\
\Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2x - {x^2} + x + 2\\
= {x^3} - 2{x^2} + 3x - 3{x^2} + 6x - 9 + 3{x^2} - 6x + 3\\
\Leftrightarrow - 4x + 8 = 0\\
\Leftrightarrow x = 2
\end{array}\]
* Với x = 2 thay vào [2] ta được k = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là
y = 3[x- 3] + 3 hay y = 3x 6