- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
LG a
\[y = {{x - 2} \over {3x + 2}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb R\backslash \left\{ { - {2 \over 3}} \right\}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 2} \over {3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {2 \over x}} \over {3 + {2 \over x}}} = {1 \over 3}\]và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {1 \over 3}\] nên đường thẳng \[y = {1 \over 3}\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - {2 \over 3}} \right]}^ + }} y = - \infty \]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - {2 \over 3}} \right]}^ - }} y = + \infty \]; nên đường thẳng \[x = - {2 \over 3}\] là tiệm cận đứng của đồ thị.
LG b
\[y = {{ - 2x - 2} \over {x + 3}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3} \right\}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 2 - {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = - 2\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2\]nên đường thẳng \[y = - 2\]là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ + }} y = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ - }} y = - \infty \] nên đường thẳng \[x = - 3\]là tiệm cận đứng của đồ thị.
LG c
\[y = x + 2 - {1 \over {x - 3}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = + \infty \] nên đường thẳng \[x = 3\] là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left[ {x + 2} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left[ {x + 2} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\] nên đường thẳng \[y = x + 2\] là tiệm cận xiên của đồ thị.
LG d
\[y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}\]
Phương pháp giải:
Đường thẳng y=ax+b [\[a\ne 0\]] là TCX của đồ thị hàm số y=f[x] khi và chỉ khi
\[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left[ x \right]}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\]
hoặc\[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left[ x \right]}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - {1 \over 2}} \right]}^ + }} y = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - {1 \over 2}} \right]}^ - }} y = - \infty \]nên đường thẳng \[x = - {1 \over 2}\] là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng \[y = ax + b\]
\[\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left[ {2x + 1} \right]}} = {1 \over 2} \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - {x \over 2}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right] \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left[ {2x + 1} \right]}} = - {7 \over 4} \cr} \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = + \infty \]
Đường thẳng \[y = {x \over 2} - {7 \over 4}\] là tiệm cận xiên của đồ thị [khi \[x \to + \infty \] và \[x \to - \infty \]].
Cách khác:
Ta có: \[y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left[ {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left[ {x + {1 \over 2}} \right]}}} \right]\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{23} \over {8\left[ {x + {1 \over 2}} \right]}} = 0\] nên đường thẳng \[y = {x \over 2} - {7 \over 4}\] là tiệm cận xiên của đồ thị.
LG e
\[y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\]
* Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\] nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = + \infty \]và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = - \infty \] nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} {{x + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} {{x + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = + \infty \] nên đường thẳng \[x = - 1\]là tiệm cận đứng của đồ thị.
LG f
\[y = {x \over {{x^3} + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
* Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\] nên \[y = 0\] là tiệm cận ngang
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = + \infty \] nên \[x = -1\] là tiệm cận đứng.