Bài 5 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm \[M\left[ {a;b;c} \right]\].
a] Tìm toạ độ hình chiếu [vuông góc] của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.
b] Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ.
c] Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.
Giải
a] Gọi \[{M_1}\left[ {x;y;0} \right]\] là hình chiếu của điểm \[M\left[ {a;b;c} \right]\] trên mp[Oxy] thì \[\overrightarrow {M{M_1}} = \left[ {x - a,y - b, - c} \right]\] và \[\overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow i = \overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow j = 0\] nên:
\[\left\{ \matrix{
x - a = 0 \hfill \cr
y - b = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = a \hfill \cr
y = b \hfill \cr} \right. \Rightarrow {M_1}\left[ {a;b;0} \right]\].
Tương tự \[{M_2}\left[ {0;b;c} \right]\] là hình chiếu của \[M\left[ {a;b;c} \right]\] trên mp[Oyz]
Và \[{M_3}\left[ {a;0;c} \right]\] là hình chiếu của \[M\left[ {a;b;c} \right]\] trên mp[Oxz].
Giả sử \[{M_4}\left[ {x;0;0} \right]\] là hình chiếu của \[M\left[ {a;b;c} \right]\] trên trục Ox thì
\[\overrightarrow {M{M_4}} = \left[ {x - a; - b; - c} \right]\] và \[\overrightarrow {M{M_4}} .\overrightarrow i = 0\] nên x = a. Vậy \[{M_4}\left[ {a;0;0} \right]\].
Tương tự \[{M_5}\left[ {0;b;0} \right]\] và \[{M_6}\left[ {0;0;c} \right]\] lần lượt là hình chiếu của \[M\left[ {a;b;c} \right]\] trên trục Oy và Oz.
b] Khoảng cách từ M đến [Oxy] là:
\[\eqalign{
& d\left[ {M;\left[ {Oxy} \right]} \right] = M{M_1} \cr&= \sqrt {{{\left[ {a - a} \right]}^2} + {{\left[ {b - b} \right]}^2} + {{\left[ {c - 0} \right]}^2}} = \left| c \right| \cr
& d\left[ {M;\left[ {Oyz} \right]} \right] = \left| a \right|;d\left[ {M;\left[ {Oxz} \right]} \right] = \left| b \right| \cr
& d\left[ {M;Ox} \right] = M{M_4} \cr&= \sqrt {{{\left[ {a - a} \right]}^2} + {{\left[ {b - 0} \right]}^2} + {{\left[ {c - 0} \right]}^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr
& d\left[ {M;Oy} \right] = \sqrt {{a^2} + {c^2}} ,d\left[ {M;Oz} \right] = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \]
c] Gọi \[M_1'\left[ {x;y;z} \right]\]là điểm đối xứng của M qua mp[Oxy] thì \[{M_1}\]là trung điểm của \[MM_1'\] nên
\[\left\{ \matrix{
{x_{{M_1}}} = {{{x_M} + {x_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr
{y_{{M_1}}} = {{{y_M} + {y_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr
{z_{{M_1}}} = {{{z_M} + {z_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_{M_1'}} = 2{x_{{M_1}}} - {x_M} = 2a - a = a \hfill \cr
{y_{M_1'}} = 2{y_{{M_1}}} - {y_M} = 2b - b = b \hfill \cr
{z_{M_1'}} = 2{z_{{M_1}}} - {z_M} = 0 - c = - c \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow M_1'\left[ {a;b; - c} \right]\]
Tương tự \[M_2'\left[ { - a;b;c} \right]\] là điểm đối xứng của M qua mp[Oyz]
Và \[M_3'\left[ {a; - b;c} \right]\] là điểm đối xứng của M qua mp[Oxz].
Bài 6 trang 81 SKG Hình học 12 Nâng cao
Cho hai điểm \[A\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]\]và \[B\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]\]. Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k [tức là \[\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \]], trong đó \[k \ne 1\].
Giải
Giả sử \[M\left[ {x;y;z} \right]\] thỏa mãn \[\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \] với \[k \ne 1\].
Ta có \[\overrightarrow {MA} = \left[ {{x_1} - x;{y_1} - y;{z_1} - z} \right],\]
\[\overrightarrow {MB} = \left[ {{x_2} - x;{y_2} - y;{z_2} - z} \right]\]
\[\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_1} - x = k\left[ {{x_2} - x} \right] \hfill \cr
{y_1} - y = k\left[ {{y_2} - y} \right] \hfill \cr
{z_1} - z = k\left[ {{z_2} - z} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}} \hfill \cr
y = {{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}} \hfill \cr
z = {{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}} \hfill \cr} \right.\]
Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình bình hành ABCD với A[-3 ; -2 ; 0], B[3 ; -3 ; 1], C[5 ; 0 ; 2]. Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \]và \[\overrightarrow {BD} \].
Giải
Ta có \[\overrightarrow {BA} = \left[ { - 6;1; - 1} \right];\overrightarrow {BC} = \left[ {2;3;1} \right]\]. Vì \[{{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}\]nên\[\overrightarrow {BA} \] và\[\overrightarrow {BC} \] không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Giả sử \[D\left[ {x;y;z} \right]\] thì \[\overrightarrow {BD} = \left[ {x - 3;y + 3;z - 1} \right]\]
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr
y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr
z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[D\left[ { - 1;1;1} \right]\]. Ta có \[\overrightarrow {AC} = \left[ {8;2;2} \right]\,;\,\overrightarrow {BD} = \left[ { - 4;4;0} \right]\]. Do đó:
\[\cos \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC.BD}} = {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} = - {1 \over 2} \]
\[\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = {{2\pi } \over 3}\]
Bài 8 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao
a] Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A[1 ; 2 ; 3] và B[-3 ; -3 ; 2].
b] Cho ba điểm \[A\left[ {2;0;4} \right]\,;\,\,B\left[ {4;\sqrt 3 ;5} \right]\] và \[C\left[ {\sin 5t,cos3t,sin3t} \right]\]. Tìm t để AB vuông góc với OC [O là gốc toạ độ].
Giải
a] Giả sử \[M\left[ {x;0;0} \right]\]thuộc trục Ox và MA = MB.
Ta có:
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,M{A^2} = M{B^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {1 - x} \right]^2} + {2^2} + {3^2} = {\left[ { - 3 - x} \right]^2} + {\left[ { - 3} \right]^2} + {2^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2x + {x^2} + 13 = 9 + 6x + {x^2} + 13\cr& \Leftrightarrow x = - 1 \cr
& \Rightarrow M\left[ { - 1;0;0} \right] \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left[ {2;\sqrt 3 ;1} \right]\,;\,\overrightarrow {OC} = \left[ {\sin 5t;\cos 3t;\sin 3t} \right] \cr
& AB \bot OC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 5t + \sqrt 3 \cos 3t + \sin 3t = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 5t + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 3t + {1 \over 2}\sin 3t = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 5t = - \sin \left[ {3t + {\pi \over 3}} \right] \cr
& \Leftrightarrow \sin 5t = \sin \left[ { - 3t - {\pi \over 3}} \right] \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5t = - 3t - {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr
5t = \pi + 3t + {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - {\pi \over {24}} + {{k\pi } \over 4} \hfill \cr
t = {{2\pi } \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right] \cr} \]