Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thoi \[ABCD\] cạnh \[a\], góc \[\widehat {BAD} = 60^0\] và \[SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
- Tính khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[[ABCD]\] và độ dài cạnh \[SC\]
- Chứng minh mặt phẳng \[[SAC]\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\]
- Chứng minh \[SB\] vuông góc với \[BC\]
- Gọi \[\varphi\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]. Tính \[\tan\varphi\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABD\] thì \[SH \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Sử dụng định lí Pitago tính \[SH\] và \[SC\].
- Chứng minh mặt phẳng \[[SAC]\] chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
- Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh \[\Delta SBC\] vuông tại B.
- Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
- Kẻ \[SH⊥[ABCD]\]
Do \[SA = SB = SD\] suy ra \[HA = HB = HC\]
\[⇒ H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ ABD\].
Ta có: \[AB = AD = a\] và \[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên \[\Delta ABD\] là tam giác đều cạnh \[a\] \[ \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Trong tam giác vuông \[SAH\], ta có: \[SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\]
\[ \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\]
\[CH = AC - AH = 2AO - AH \] \[= 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\]
Trong tam giác vuông \[SHC\]: \[S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\Rightarrow SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\]
- \[\left. \matrix{SH \bot [ABCD] \hfill \cr SH \subset [SAC] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow [SAC] \bot [ABCD]\]
- Ta có:
\[S{C^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4};\,\,B{C^2} = {a^2};\,\,S{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\]
\[ \Rightarrow S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\]
\[\Rightarrow \Delta SBC\] vuông tại \[B\] \[ \Rightarrow SB \bot BC.\]
Cách khác:
Ta có: \[SH \bot \left[ {ABD} \right] \Rightarrow SH \bot AD\].
\[H\] là tâm tam giác \[ABD\] nên \[BH\bot AD\]
\[\left\{ \begin{array}{l} BH \bot AD\\ SH \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left[ {SBH} \right]\]
Mà \[BC//AD\] nên \[BC \bot \left[ {SBH} \right]\]
\[ \Rightarrow BC \bot SB\]
- Ta có:
\[\eqalign{ & \left. \matrix{ DB \bot AC \hfill \cr SH \bot [ABCD] \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \cr &\Rightarrow DB \bot [SAC] \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr {\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[\left\{ \begin{array}{l} \left[ {SBD} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = BD\\ SO \bot BD,AC \bot BD\\ SO \subset \left[ {SBD} \right]\\ AC \subset \left[ {ABCD} \right] \end{array} \right.\]
Nên góc giữa [SBD] và [ABCD] bằng góc giữa SO và AC hay \[\widehat{ SOH}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]
Ta có:
\[ SH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\] và \[OH = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
\[\Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = \sqrt 5 \]
\[\Rightarrow SH^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{9}= \frac{5a^2}{12} \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{6}\]
Gọi O là giao điểm của AC và BD \[\Rightarrow OC=OA=\frac{3}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]
Và \[OH=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow HC=HO+OC\]
\[=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\]
Trong tam giác vuông HSC có:
\[SC^2=SH^2+HC^2=\frac{15a^2}{36}+\frac{12a^2}{9}=\frac{7a^2}{4}\]
Vậy \[SC=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\]
Câu b:
Theo chứng minh ở câu a] \[SH\perp [ABCD]\] mà \[SH\subset [SAC]\]
Vậy \[[SAC]\perp [ABCD]\] [đpcm]
Câu c:
Trong tam giác SBC có: \[SB^2=\frac{3a^2}{4}; BC^2=a^2; SC^2=\frac{7a^2}{4}\]
\[\Rightarrow SC^2=SB^2+BC^2\Rightarrow\] tam giác SBC vuông tại B hay \[SB\perp BC\] [đpcm]
Câu d:
Vì ABCD là hình thoi \[\Rightarrow AC\perp BD \ [1]\]
Mặt khác \[\Delta SBD\] cân đỉnh S có O là trung điểm \[BD \Rightarrow SO \perp BD \ [2]\]
Từ [1] và [2] \[\Rightarrow BD \perp [SAO]\]
BD là giao tuyến của mặt phẳng [SBD] và mặt phẳng [ABCD]
Suy ra \[\varphi =SOA=SOH\]
Trong tam giác vuông SOH ta có: \[tan\varphi =\frac{SH}{OH}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}= \sqrt{5}\].
Đáp án bài 7 trang 122 SGK hình học lớp 11 Bài tập ôn tập chương 3 : Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
1. Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có góc BAD = 60∘ và SA=SB=SD= [a√3]/2
- a] Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng [ABCD] và độ dài cạnh SC.
- b] Chứng minh mặt phẳng [SAC] vuông góc với mặt phẳng [ABCD].
- c] Chứng minh SB vuông góc với SC.
- d] Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng [SBD] và [ABCD]. Tính tanφ.
2. Đáp án - hướng dẫn giải bài 7 trang 122
Bạn còn vấn đề gì băn khoăn?
Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn