Nội dung 1 – Tích phân bất định. 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân bất định Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. [ ] [ ]f x dx F x C Định nghĩa Hàm số y = F[x] được gọi là nguyên hàm của hàm hàm trong [a,b], nếu y = F[x] liên tục, có đạo []y f x tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và . ' [ ] [ ]F x f x Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f[x] được gọi là tích phân bất định của hàm y = f[x], ký hiệu I. Tích phân bất định ' 1. [ ] [ ]f x dx f x Tính chất 2. [ ] [ ]d f x dx f x dx 3. Nếu f[x] là hàm khả vi, thì ' [ ] [ ]f x dx f x C 4. Nếu f[x] là hàm khả vi, thì [ ] [ ]df x f x C 5. [ ] [ ] f x dx f x dx 6. [ ] [ ] [ ] [ ] f x g x dx f x dx g x dx 1. sinh coshxdx x c Tích phân của một số hàm cơ bản 2 2. tanh cosh dx xc x cosh sinhxdx x c 2 coth sinh dx xc x 22 1 3. arctan dx x c aa xa 22 4. arcsin arccos dx x x cc aa ax 22 22 5. ln dx x x a C xa 0a Phương pháp đổi biến ' [] [ [ ]] [ ] [ ] tx f x x dx f t dt Nếu tồn tại hàm hợp và hàm liên tục [ [ ]]fx []tx trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng [a,b], thì Nếu tồn tại hàm hợp của hàm , thì []tx 1 []xt 1 ' [] [ ] [ [ ]] [ ] xt f t dt f x x dx 1 ' [] [ ] [ [ ]] [ ] tx f x dx f t t dt Ví dụ Tính sin dx I x sin dx I x 2 sin sin xdx x 1 2 1 1 dt dt tt Ví dụ Tính 2 ln[arccos ] 1 arccos x dx I xx 2 cos 1 cos dx x 2 1 dt t ln tan 2 x C 1 1 cos ln 2 1 cos x C x ln[arccos ]tx 2 1 arccos dx dt xx 2 ln[arccos ] 1 arccos x dx I xx 2 2 t tdt C 2 1 ln arccos 2 xC Phương pháp tích phân từng phần. Giả sử hai hàm liên tục trên đoạn [a,b] [ ], [ ]u u x v v x và khả vi trong khoảng [a,b]. Nếu tồn tại , thì tồn tại . Ngoài ra: ' v u dx ' u v dx '' u vdx u v v u dx u dv u v v du Phương pháp tích phân từng phần. [ ]ln n P x ax dx đặt ln dx u ax du x [ ] [ ] nn dv P x dx v P x dx [] ax n P x e dx [ ] cos n P x ax dx [ ] sin n P x ax dx đặt [] n u P x dv phaàn coøn laïi. [ ] arcsin n P x ax dx [ ] arccos n P x ax dx [ ] arctan n P x ax dx []arccot n P x ax dx Ví dụ Tính 2 arccosI xdx arccosux 2 1 dx du x Đặt 2 2 2arccos arccos 1 xdx u x du x dv dx v x 2 2 2 arccos arccos 1 xx I x x dx x 2 1 arccosx x I 2 1 1 arccosI x x dx 2 1 xdx dv x 2 2 1 1 xdx v x C x 2 2 1 arccosx x x C Tích phân của hàm hữu tỷ [] [] n m Px dx Qx các đa thức bậc n và m với hệ số thực. , nm PQ 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng. 2. [Đại số]. Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra thừa số bậc nhất và bậc hai. 1 1 22 1 1 1 [ ] v k tt s s m k v v Q x x a x a x p x q x p x q [...].. .Tích phân của hàm hữu tỷ 3 Phân tích: Pn [ x] Qm [ x] x a 1 Pn [ x] s1 x 2 p1x q1 As1 A1 A2 2 x a1 x a1 x B1 x C1 2 p1x q1 B2 x C2 x 2 p1 x q1 x a1 2 s1 t1 x Bt1 x Ct1 2 p1x q1 t1 4 Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số 5 Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau Tích phân của hàm hữu tỷ... 6arctan 6 x C 6 t dt 6 2 6 2 t [1 t ] t 1 2 6 4 5 Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler x, ax 2 bx c dx R a 0, b2 4ac 0 Cách giải: Đổi biến Euler a 0 : ax 2 bx c ax t c 0 : ax bx c xt c 2 ax bx c [ x x1 ]t 2 Trong đó x1 là một nghiệm thực của ax bx c 0 2 Ví dụ Tính I Tích phân Euler: 1 1 x x2 x 1 x x2 dx 1 x x tx... Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev x m ax n p b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả các số khác 0 Trường hợp 1: p là số nguyên Đặt x t , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n N m 1 Trường hợp 2: là số nguyên n n s Đặt ax b t , với s là mẫu của p m 1 Trường hợp 3: p là số nguyên n n s Đặt a bx t , với s là mẫu của p Ví dụ I Tính dx x 23 [ x 2] I x Tích. .. 1][cosh xdx] 2 2 6 3 6 3 t 2 [t 2 1]dt t t C sinh x sinh x C 6 3 6 3 Tích phân của hàm lượng giác a1 sin x b1 cos x I dx a sin x b cos x Phân tích a1 sin x b1 cos x A a sin x b cos x B a sin x b cos x ' [ Aa Bb]cos x [ Ab aB]sin x Ab aB a1 Đồng nhất hai vế: giải tìm A, B Aa Bb b1 ' A[a sin x b cos x] dx I Bdx a sin x b cos x... sin x,cos x dx Trong đó: R[u,v] là hàm hữu tỷ theo biến u, v x Cách giải chung: đặt t tan , x , 2 dt x 2arctan t dx 2 2 1 t 2 2t 1 t Tích phân hàm sin x ,cos x 1 t2 1 t2 hữu tỷ 2t 1 t 2 dt R sin x,cos x dx 2 R 1 t 2 , 1 t 2 1 t 2 Trong nhiều trường hợp, cách giải trên rất cồng kềnh Ví dụ Tính dx I 3sin x 4cos x 5 Đổi biến:... 1 4 x dx x 3 Tích phân Trêbưsev: I x 1/ 2 1 x 1/ 4 1/ 3 dx m 1 1/ 2 1 2 Z m 1/ 2, n 1/ 4, p 1/ 3 n 1/ 4 BSCNN của mẫu m, n là 4 Đổi biến: 1 x 1/ 4 I x 1/ 2 x t x 3 1/ 4 1 / 4 1/ 3 3/ 4 1 x 2 x 1 3/ 4 t 1 x dx 3t 2 dt 4 3/ 4 3 dx x 1/ 4 I 4 t 1 t 3t dt 4 3t 3t dt 3 6 3 1/ 4 1/ 3 1 x x 3/ 4 dx Tích phân của hàm lượng... 23 [ x 2] I x Tích phân Trêbưsev: 3 2 x 3 5 2 5/ 3 dx m 1 2 1 5 p 2 Z m 2, n 3, p 5/ 3 n 3 3 3 Đổi biến: 1 2x t 3 4 6 x dx 3t dt 2 5 / 3 x 2 3 x 2 4 I x x x 3 x dx x 3 x x 3 t 2 1 t 1 5 t dt 1 t 3 dt 4 2 2 2 4 5 3 3 5 / 3 4 x dx Ví dụ I Tính 3 dx x 1 6 x Tích phân Trêbưsev: I x... Ax Bx C 1 2 Đạo hàm hai vế [*] ' P P2 4 x 8x 1 2 2 2 [ x 1] [ x 1] Q1 Q2 2 Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c Tích phân của hàm vô tỷ ax b q1 x, R cx d p1 p2 ax b q 2 , cx d ax b Cách giải: đổi biến t , cx d n n là Bội số chung nhỏ nhất của q1 , q2 , dx , Ví dụ I Tính dx 2x 1 4 2x 1 Đổi biến: 2 x 1 ... x 2 1] [ Ex F ][ x 1] 2 Thay x = 1, tìm được B = -1 Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4 Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1 Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii P[ x] P [ x] P2 [ x] 1 Q[ x] dx Q [ x] Q [ x] dx 1 2 [*] Q2 [ x] đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q[x], Q[ x] Q1 [ x] Q2 [ x] P [ x],... x , dt dx 2 1 t2 2t 1 t sin x ,cos x 2 1 t 1 t2 2 dt dt 2 2 I 2 2 2 t 6t 9 6t 4[1 t ] 5[1 t ] 2 2 2 [t 3] d [t 3] C C t 3 tan[ x / 2] 3 2 Tích phân của hàm lượng giác R sin x,cos x dx 1] R sin x,cos x R sin x,cos x , đặt t cos x, x 2 2 2] R sin x, cos x R sin x,cos x đặt 3] R sin x, . Tích phân bất định. 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân bất định Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. [ ] [ ]f x dx F x C Định. ]F x f x Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f[x] được gọi là tích phân bất định của hàm y = f[x], ký hiệu I. Tích phân bất định ' 1. [ ] [ ]f x dx f x Tính chất 2. [ ] [. q 4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau. Tích phân của hàm hữu tỷ. 1 1 ,1 [] 1. 1 nn dx Cn xa n
Xem thêm: giải tích chuyên đề tích phân bất định, giải tích chuyên đề tích phân bất định