10:38:5419/07/2021
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là bài toán các em rất hay gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia, vì vậy đừng bỏ lỡ khi gặp dạng này nhé.
Bài này sẽ giúp các em biết cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [trong miền giá trị].
• Bài tập cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
I. Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D.
• Số M là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số f[x] trên D nếu f[x] ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f[x0] = M.
Ký hiệu:
• Số m là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số f[x] trên D nếu f[x] ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f[x0] = m.
Ký hiệu:
* Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
trên khoảng [0;+∞]
> Lời giải:
- Trên khoảng [0;+∞], ta có:
- Bảng biến thiên:
Vậy tại x = 1. Không tồn tại giá trị lớn nhất của f[x] trên khoảng [0;+∞].
II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
• Định lý:
- Hàm số liên tục trên một đoạn thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a ; b]
+ Bước 1: Tìm các điểm xi ∈ [a ; b][i = 1, 2, . . . , n] mà tại đó f'[xi] = 0 hoặc f'[xi] không xác định.
+ Bước 2: Tính f[a], f[b], f[xi] [i = 1, 2, . . . , n] .
+ Bước 3: Tìm
> Chú ý: Cũng như ở mục I. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f[x] xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
- Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất [các em lưu ý sự khác biệt một khoảng và một đoạn].
* Ví dụ 1: Cho hàm số:
có đồ thị như Hình 10 [hình dưới]. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.
> Lời giải:
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2.
Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3.
Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.
* Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên hàm số
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f[x] trên tập xác định.
> Lời giải:
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y' = 2x/[1 + x2]2 . Cho y' = 0 thì x = 0.
- Bảng biến thiên:
Trên đây là nội dung lý thuyết về Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn, hy vọng các em đã hiểu rõ và có thể vận dụng giải các bài tập liên quan, chúc các em học tốt.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a [với a là số đã biết] để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b [với b là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Sử dụng tính chất
Với mọi x, y ∈ Q, ta có
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x – y| ≥ |x| - |y|
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1
Lời giải:
A = |x + 1001| + 1
Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x
Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x
Do đó A ≥ 1 ∀ x
Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 - |5x + 3|
Lời giải:
B = 5 - |5x + 3|
Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x
⇒ 5 - |5x + 3| ≤ 5 ∀ x
Suy ra B ≤ 5 ∀ x
Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|
Lời giải:
C = |x – 1| + |x – 2019|
= |x – 1| + |-[x – 2019]| [vì |a| = |-a|]
= |x – 1| + |2019 – x|
Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| [theo tính chất ở phần lý thuyết]
Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018
Suy ra C ≥ 2018
Vậy GTNN của C là 2018
Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 5000| - |x – 3000|
Lời giải:
D = |x + 5000| - |x – 3000| ≤ |x + 5000 – [x – 3000]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]
Vì | x + 5000 – [x – 3000]| = | x + 5000 – x + 3000| = |8000| = 8000
Suy ra D ≤ 8000
Vậy GTLN của D là 8000.
Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 - |1,4 – x|
A. - 2
B. -3,4
C. 2
D. -1
Hướng dẫn
A = -2 - |1,4 – x|
Vì |1,4 – x| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|1,4 – x| ≤ 0 ∀ x
⇒ - 2 -|1,4 – x| ≤ - 2 – 0 = -2 ∀ x
Do đó A ≤ - 2 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 1,4 – x = 0 ⇒ x = 1,4
Vậy giá trị lớn nhất của A là -2, khi x = 1,4.
Đáp án A
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x – 5| + 10 là
A. 5
B. 0
C. 10
D. 15
Hướng dẫn
Vì |x – 5| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 5| + 10 ≥ 0 + 10 = 10 ∀ x
Suy ra H ≥ 10 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của H là 10 khi x = 5.
Đáp án C
Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Vì |x - 2| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 2| + 3 ≥ 0 + 3 = 3 ∀ x
Suy ra
Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0, hay x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của N là
Đáp án B
Câu 4. Biểu thức K = 2|3x – 1| - 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi
Hướng dẫn
Vì |3x – 1| ≥ 0 ∀ x
⇒ 2|3x – 1| ≥ 2.0 = 0 ∀ x
⇒ 2|3x – 1| - 4 ≥ 0 – 4 = -4 ∀ x
Do đó K ≥ - 4 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x =
Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất khi x = .
Đáp án C
Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức
Hướng dẫn
Đáp án B
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x - 1| + 4
A. 0
B. 4
C. 5
D. 10
Hướng dẫn
Ta có: |x – 1| = |-[x – 1]| = | 1 – x| [vì |a| = |-a|]
Khi đó N = |x + 5| + |1 – x| + 4
Vì |x + 5| + |1 - x| ≥ |x + 5 + 1 - x| = |6| = 6
Do đó N = |x + 5| + |x - 1| + 4 ≥ 6 + 4 = 10
Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 10
Đáp án D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán 7 hay khác:
- Giải bài tập Toán 7
- Giải SBT Toán 7
- Top 60 Đề thi Toán 7 [có đáp án]
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 7 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 7 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 7 và Hình học 7.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.