Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ – Toán lớp 7
Bài viết này hướng dẫn cho các em cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ có lời giải chi tiết, dễ hiểu.
Sau mỗi ví dụ là nhận xét về hướng giải quyết một bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Ví dụ 1 : Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.
Giải.
Xét ?ABD và ?MCD, ta có :
AB = CM [gt]
DB = DC [D là trung điểm của BC]
=> ?ABD = ?MCD [2 cạnh góc vuông]
=>
Mặt khác : [B, D, C thẳng hàng]
=>
Hay :
=> A, D, M thẳng hàng [ góc bẹt]
Nhận xét:Ở bài này chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh cho góc tạo bởi 3 điểm đó là 180 độ.
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC . gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.
GIẢI.
Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :
DB = DA [D là trung điểm của AB]
[đối đỉnh].
DC = DM [gt].
=> ΔBCD = ΔBMD [c -g -c]
=> và BC = AM.
Mà : ở vị trí so le trong. => BC // AM.
Chứng minh tương tự,
ta được : BC // AN và BC = AN.
ta có : BC // AM [cmt] và BC // AN [cmt]
=> A, M. N thẳng hàng. [1]
BC = AM và BC = AN => AM = AN [2].
Từ [1] và [2], suy ra : A là trung điểm của MN.
Nhận xét:Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM= AN
Ví dụ 3 :
Cho tam giác ABC vuông góc tại A có góc B = 530.
a] Tính góc C.
b] Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm E. cmr : ΔBEA = ΔBED.
c] Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H. CH cắt đường thẳng AB tại F. cm : ΔBHF = ΔBHC.
d] Cmr : ΔBAC= ΔBDF và D, E, F thẳng hàng.
Giải.
a. Tính góc C :
Xét ΔBAC, ta có :
=>
=>
b. ΔBEA = ΔBED :
Xét ΔBEA và ΔBED, ta có :
BE cạnh chung.
[BE là tia phân giác của góc B]
BD = BA [gt]
=> ΔBEA = ΔBED [c – g – c]
c. ΔBHF = ΔBHC
Xét ΔBHF và ΔBHC, ta có :
BH cạnh chung.
[BE là tia phân giác của góc B]
[gt]
=> ΔBHF = ΔBHC [cạnh huyền – góc nhọn]
=> BF = BC [cạnh tương ứng]
d. ΔBAC= ΔBDF và D, E, F thẳng hàng
xét ΔBACvà ΔBDF, ta có:
BC = BF [cmt]
Góc B chung.
BA = BC [gt]
=> ΔBAC= ΔBDF
=>
Mà : [gt]
Nên : hay BD DF [1]
Mặt khác : [hai góc tương ứng của ΔBEA = ΔBED]
Mà : [gt]
Nên : hay BD DE [2]
Từ [1] và [2], suy ra : DE trùng DF
Hay : D, E, F thẳng hàng.
Bài tập tự giải:
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AB = FA. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AC = AE.
a] Chứng minh: Δ EAF = Δ CAB
b]Gọi K là trung điểm EF và D là trung điểm BC. Chứng minh : KB = FD.
d] Chứng minh: K, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 2 :Cho Δ ABC có M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC.
a] Chứng minh Δ MAD = Δ MBC và AD // CB.
b] Lấy N thuộc AD; NM cắt BC tại P. Chứng minh AN = BP.
c] Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm D, vẽ tia AE sao cho góc EAB + góc ABC = 180^0 . Chứng tỏ D, A, E thẳng hàng.
Định nghĩa, tính chất ba đường cao của tam giác
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Định lí Pitago trong tam giác vuông
Định nghĩa hai tam giác bằng nhau