- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = {{{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số f
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}\\y' = 1 + \dfrac{1}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} > 0\end{array}\]
\[ \Rightarrow \]Hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\].
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right] = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right] = + \infty \end{array}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - x + 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}} = 0\]
\[ \Rightarrow x = 1;y = x - 1\] lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Từ đồ thị [C] suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
\[g\left[ x \right] = {{{x^2} - 2\left| x \right|} \over {\left| x \right| - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
g là một hàm số chẵn nên đồ thị \[[{C_1}]\] của đồ thị đối xứng qua trục tung. Với \[x \ge 0,\] ta có
\[g\left[ x \right] = {{{x^2} - 2x} \over {x - 1}} = f\left[ x \right]\]
Do đó, muốn có đồ thị \[\left[ {{C_1}} \right]\] của hàm số g ta bỏ đi phần đường cong [C] nằm bên trái trục tung, giữ lại phần của đường cong [C] nằm bên phải trục tung [ứng với các giá trị \[x \ge 0,x \ne 1\]] và bổ xung thêm hình đối xứng của phần đường cong này qua trục tung.
LG c
Với các giá trị nào của m thì phương trình
\[{x^2} - 2\left| x \right| = m\left[ {\left| x \right| - 1} \right]\]
có bốn nghiệm thực phân biệt ?
Lời giải chi tiết:
\[m > 0\]
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\[{{{x^2} - 2\left| x \right|} \over {\left| x \right| - 1}} = m\]
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm \[\left[ {{C_1}} \right]\] và đường thẳng \[y = m\]