- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng nếu\[P\left[ x \right]\]là một đa thức bậc ba và\[\alpha \]là một số thực bất kì ta có
\[P\left[ {x + \alpha } \right] = P\left[ \alpha \right] + xP'\left[ \alpha \right] + {{{x^2}} \over 2}P"\left[ \alpha \right]] \]
\[+ {{{x^3}} \over 6}P'''\left[ \alpha \right],\]\[\left[ {\forall x \in R} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta viết đa thức bậc ba \[P\left[ x \right]\] dưới dạng
\[P\left[ x \right] = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {{a_0} \ne 0} \right]\]
Ta có
\[\eqalign{& P'\left[ x \right] = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2} \cr& P''\left[ x \right] = 6{a_0}x + 2{a_1} \cr& P'''\left[ x \right] = 6{a_0}. \cr} \]
Vậy
\[\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P'''\left[ \alpha \right] + {{{x^2}} \over 2}P''\left[ \alpha \right] + xP'\left[ \alpha \right] + P\left[ \alpha \right] \cr& = {a_0}{x^3} + \left[ {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right]{x^2} + \left[ {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right]x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]
Mặt khác ta có
\[\eqalign{& P\left[ {x + \alpha } \right] = {a_0}{\left[ {x + \alpha } \right]^3} + {a_1}{\left[ {x + \alpha } \right]^2}\cr&\;\;\; + {a_2}\left[ {x + \alpha } \right] + {a_3} \cr& = {a_0}\left[ {{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right]\cr&\;\;\; + {a_1}\left[ {{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right] + {a_2}\left[ {x + \alpha } \right] + {a_3} \cr& = {a_0}{x^3} + \left[ {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right]{x^2} + \left[ {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right]x\cr&\;\;\; + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
So sánh [1] và [2] , suy ra điều phải chứng minh.
LG b
Xác định đa thức\[P\left[ x \right]\]bậc ba biết\[P\left[ 0 \right] = P'\left[ 0 \right] = P"\left[ 0 \right]=P'''\left[ 0 \right]\,\, = 1\]
Lời giải chi tiết:
Khi \[\alpha = 0,\] ta được
\[P\left[ x \right] = P\left[ 0 \right] + xP'\left[ 0 \right] + {{{x^2}} \over 2}P''\left[ 0 \right] + {{{x^3}} \over 6}P'''\left[ 0 \right].\]
Vì \[P\left[ 0 \right] = P'\left[ 0 \right] = P''\left[ 0 \right] = P'''\left[ 0 \right] = 1\]
Nên đa thức tìm là \[P\left[ x \right] = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}\]