\[{\log _3}\left[ {{x^2} + {y^2} + x} \right] + {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \le {\log _3}x + {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2} + 24x} \right]?\]
A. 89.
B. 48.
C. 90.
D. 49.
Lời giải:
Chọn B
Điều kiện: \[x > 0\] .
Ta có: \[{\log _3}\left[ {{x^2} + {y^2} + x} \right] + {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \le {\log _3}x + {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2} + 24x} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{x^2} + {y^2} + x} \right] – {\log _3}x \le {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2} + 24x} \right] – {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\frac{{{x^2} + {y^2} + x}}{x}} \right] \le {\log _2}\left[ {\frac{{{x^2} + {y^2} + 24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right]\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x}} \right] \le {\log _2}\left[ {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} + 1} \right] – {\log _2}\left[ {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right] \le 0.{\rm{ }}\]
Đặt: \[t = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x}[t > 0]\] , bất phương trình trở thành: \[{\log _3}[1 + t] – {\log _2}\left[ {1 + \frac{{24}}{t}} \right] \le 0\] [1].
Xét hàm số \[f[t] = {\log _3}[1 + t] – {\log _2}\left[ {1 + \frac{{24}}{t}} \right]\] có \[f'[t] = \frac{1}{{[1 + t]\ln 3}} + \frac{{24}}{{\left[ {{t^2} + 24t} \right]\ln 2}} > 0,\forall t > 0\] .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \[[0; + \infty ]\] .
Ta có \[f[8] = {\log _3}[1 + 8] – {\log _2}\left[ {1 + \frac{{24}}{8}} \right] = 0\]
Từ đó suy ra: \[[1] \Leftrightarrow f[t] \le f[8] \Leftrightarrow t \le 8 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} \le 8 \Leftrightarrow {[x – 4]^2} + {y^2} \le 16\] .
Chọn B
Điều kiện: x>0.
Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x
⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2
⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2
⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0.
Đặt: t=x2+y2x[t>0], bất phương trình trở thành: log3[1+t]−log21+24t≤0 [1].
Xét hàm số f[t]=log3[1+t]−log21+24t có f'[t]=1[1+t]ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng [0;+∞].
Ta có f[8]=log3[1+8]−log21+248=0
Từ đó suy ra: [1]⇔f[t]≤f[8]⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔[x−4]2+y2≤16.
Đếm các cặp giá trị nguyên của [x;y]
Ta có: [x−4]2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 00.
Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x
⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2
⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2
⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0.
Đặt: t=x2+y2x[t>0], bất phương trình trở thành: log3[1+t]−log21+24t≤0 [1].
Xét hàm số f[t]=log3[1+t]−log21+24t có f'[t]=1[1+t]ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng [0;+∞].
Ta có f[8]=log3[1+8]−log21+248=0
Từ đó suy ra: [1]⇔f[t]≤f[8]⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔[x−4]2+y2≤16.
Đếm các cặp giá trị nguyên của [x;y]
Ta có: [x−4]2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0