Phân tích đa thức \[{x^2} - 6x + 8\] thành nhân tử ta được
Đa thức \[25 - {a^2} + 2ab - {b^2}\] được phân tích thành
Phân tích đa thức \[{x^4} + 64\] thành hiệu hai bình phương, ta được
Tìm \[x\] biết \[3{x^2} + 8x + 5 = 0\]
Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $4{[x-3]^2}-[2x-1][2x + 1] = 10$.
Giá trị nhỏ nhất của \[x\] thỏa mãn $6{x^3} + {x^2} = 2x$ là
Giá trị của biểu thức $D = {x^3}-{x^2}y-x{y^2} + {y^3}$ khi \[x = y\] là
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\]
Phân tích đa thức \[{x^7} - {x^2} - 1\] thành nhân tử ta được
Phương pháp giải:
Áp dụng bổ đề: Cho hàm số \[f\left[ x \right],\] liên tục trên \[\left[ {a;\,\,b} \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f\left[ x \right] = A\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f\left[ x \right] = B\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \] Tìm \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left[ x \right]} \right| = ?\]
TH1: Nếu \[AB \le 0\] \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left[ x \right]} \right| = 0.\]
TH2: Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left[ x \right]} \right| = A.\]
TH3: Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}A < 0\\B < 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left[ x \right]} \right| = - B.\]
Giải chi tiết:
Đặt \[t = \sin x + \sqrt 3 \cos x\]
Ta có: \[t = 2\left[ {\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right] = 2\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{3}} \right]\] \[ \Rightarrow t \in \left[ { - 2;\,\,2} \right].\]
Khi đó ta có: \[y = \left| {f\left[ {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right] + m} \right| = \left| {{t^3} - 3{t^2} + 1 + m} \right|\]
Xét hàm số \[g\left[ t \right] = {t^3} - 3{t^2} + m + 1\] trên \[\left[ { - 2;\,\,2} \right]\] ta được:
\[g'\left[ t \right] = 3{t^2} - 6t\] \[ \Rightarrow g'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}g\left[ { - 2} \right] = m - 19\\g\left[ 0 \right] = m + 1\\g\left[ 2 \right] = m - 3\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left[ t \right] = m - 19\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left[ t \right] = m + 1\end{array} \right.\]
TH1: \[\left[ {m + 1} \right]\left[ {m - 19} \right] \le 0\] \[ \Leftrightarrow - 1 \le m \le 19\] \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} \left| {g\left[ t \right]} \right| = 0\]
\[ \Rightarrow \] Có 21 giá trị \[m\] thỏa mãn bài toán.
TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}m - 19 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 19\] \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} \left| {g\left[ t \right]} \right| = m - 19\]
\[ \Rightarrow m - 19 \le 5 \Leftrightarrow m \le 24\] \[ \Rightarrow 19 < m \le 24\]
\[ \Rightarrow m \in \left\{ {20;\,\,21;\,\,22;\,\,23;\,\,24} \right\}\]
\[ \Rightarrow \] Có 5 giá trị \[m\] thỏa mãn bài toán.
TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}m - 19 < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m