Ta có: \[m{x^3} – 3m{x^2} + \left[ {3m – 2} \right]x + 2 – m = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\m{x^2} – 2mx + m – 2 = 0\,\,\,\left[ 1 \right]\end{array} \right.\].
Yêu cầu bài toán\[ \Leftrightarrow \]phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ba nghiệm phân biệt\[ \Leftrightarrow \]phương trình \[\left[ 1 \right]\] có hai nghiệm phân biệt khác \[1\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – m\left[ {m – 2} \right] > 0\\m – 2m + m – 2 \ne 0\end{array} \right.\].
Đặt \[t = {e^x} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < t < 2}\\{t' = {e^x} > 0}\end{array}} \right.\].
Khi đó, bài toán trở thành tìm có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực \[m\] để hàm số \[y = \left| {{t^3} - 3[m + 2]{t^2} + 3m[m + 4]t} \right|\] đồng biến trên khoảng \[[0;2]\].
Xét hàm số \[f[t] = {t^3} - 3[m + 2]{t^2} + 3m[m + 4]t\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow f'[t] = 3{t^2} - 6[m + 2]t + 3m[m + 4]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left[ {{t^2} - [2m + 4]t + m[m + 4]} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3[t - m][t - [m + 4]]\end{array}\].
TH1: Hàm số \[f[t] = {t^3} - 3[m + 2]{t^2} + 3m[m + 4]t\] đồng biến và không nhận giá trị âm trên
TH2: Hàm số \[f[t] = {t^3} - 3[m + 2]{t^2} + 3m[m + 4]t\] nghịch biến và không nhận giá trị dương trên
\[ \Leftrightarrow {2^{2\left[ {x + 1} \right]}} + {6.2^{x + 1}} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{x + 1}} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\\{2^{x + 1}} = - 8\,\,\left[ {vo\,\,nghiem} \right]\end{array} \right.\]
Đặt \[t = {3^x} > 0,\] phương trình thứ hai trở thành \[m{t^2} + \left| {m - 9} \right|t - 9 = 0\] [*]
Ta có \[\Delta = {\left[ {m - 9} \right]^2} - 4m\left[ { - 9} \right] = {m^2} - 18m + 81 + 36m = {\left[ {m + 9} \right]^2} \ge 0\,\,\forall m\].
Để hai phương trình trên là tương đương thì hai phương trình phải có cùng tập nghiệm.
TH1: Phương trình [*] có nghiệm kép x = 0 \[ \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0 \Leftrightarrow m = - 9\\ - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - \left| {m - 9} \right|}}{{2m}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9\\\dfrac{{ - 18}}{{2.\left[ { - 9} \right]}} = 1\end{array} \right.\] [luôn đúng]
\[ \Rightarrow m = - 9\] thoả mãn.
TH2: Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt \[\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 9} \right| = - m + 9\\P = - 9m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 9 \le 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 9\].
Kết hợp điều kiện \[m \in \left[ { - 21;21} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 9;0;1;2;...;9} \right\}.\]
Chọn B
42x−m−4.23x−2m+4.2x−m22x2m>4.2x−22x12m282m>22⇔m>8. Do m nguyên thuộc đoạn [0;100] nên có 100 - 8 = 92 giá trị của m.
Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến
\[ \Leftrightarrow a > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.\]
Mà m ∈ Z mà m \[ \in \left[ { - 2017;2017} \right]\]
\[ \Rightarrow m \in \left\{ { - 2017; - 2016; - 2015;...; - 3} \right\} \cup \left\{ {3;4;5;...2017} \right\}\]
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2023;2023 \right]$ để hàm số $y=\left| {{8}^{x}}-3\left[ m+2 \right]{{4}^{x}}+3m\left[ m+4 \right]{{2}^{x}} \right|$ đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;2 \right]$ ?
A. $2022$.
B. $2020$.
C. $4039$.
D. $4037$.
Lời giải
Xét hàm số $f\left[ x \right]={{8}^{x}}-3\left[ m+2 \right]{{4}^{x}}+3m\left[ m+4 \right]{{2}^{x}}$.
Đặt $t={{2}^{x}}$. Với $x\in \left[ -\infty ;2 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;4 \right]$.
$\Rightarrow f\left[ t \right]={{t}^{3}}-3\left[ m+2 \right]{{t}^{2}}+3m\left[ m+4 \right]t$.
$\Rightarrow f'\left[ t \right]=3{{t}^{2}}-6\left[ m+2 \right]t+3m\left[ m+4 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=m \\
& t=m+4 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên: