Đề bài
Cho \[n\] điểm trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là \[A_1, A_2,,A_n\]. Bạn Bình kí hiệu chúng là \[B_1, B_2,, B_n\]. Chứng minh rằng
\[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].
Lời giải chi tiết
Lấy một điểm \[O\] bất kì ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} \\ = \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} - \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}} - \overrightarrow {O{A_n}} \\ = [\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}} ] - [\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ]\end{array}\]
Vì \[n\] điểm \[B_1,B_2,...B_n\]cũng là \[n\] điểm \[A_1, A_2,,A_n\]nhưng kí hiệu một cách khác, cho nên ta có
\[\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}}\]
\[ = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} \]
Suy ra \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].