Đề bài
Cho góc \[xOy,\] điểm \[A\] nằm trong góc đó. Vẽ điểm \[B\] đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] vẽ điểm \[C\] đối xứng với \[A\] qua \[Oy.\]
\[a]\] Chứng minh rằng \[OB = OC\]
\[b]\] Tính số đo góc \[xOy\] để \[B\] đối xứng với \[C\] qua \[O.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \[d\] nếu \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Vì \[B\] đối xứng với \[A\] qua trục \[Ox\] nên \[Ox\] là đường trung trực của đoạn \[AB.\]
\[ OA = OB\] [tính chất đường trung trực] \[[1]\]
Vì \[C\] đối xứng với \[A\] qua trục \[Oy\] nên \[Oy\] là đường trung trực của đoạn \[AC.\]
\[ OA = OC\] [tính chất đường trung trực] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[OB = OC.\]
\[b]\] Ta có: \[OB = OC\] do đó điểm \[B\] đối xứng với điểm \[C\] qua tâm \[O\] cần thêm điều kiện \[B, O, C \] thẳng hàng.
\[ OAB\] cân tại \[O\] có \[Ox\] là đường trung trực của \[AB\] nên \[Ox\] cũng là đường phân giác của \[\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}\]
\[ OAC\] cân tại \[O\] có \[Oy\] là đường trung trực của \[AC\] nên \[Oy\] cũng là đường phân giác của \[\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}\]
\[B, O, C\] thẳng hàng \[ \Leftrightarrow {\widehat O_1} +{\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}\]
\[\eqalign{& \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0} \cr& \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0} \cr& \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr} \]
Vậy \[\widehat {xOy} = {90^0}\] thì \[B\] đối xứng với \[C\] qua tâm \[O.\]