Đề bài
Nghiệm của phương trình \[\sin 5x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] là
A. \[\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] và \[\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] \[[k\in\mathbb{Z}]\]
B. \[\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] và \[\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] \[[k\in\mathbb{Z}]\]
C. \[\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] và \[\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] \[[k\in\mathbb{Z}]\]
D. \[\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] và \[\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] \[[k\in\mathbb{Z}]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta có phương trình: \[\sin x=a\]
Có \[\alpha\] thỏa mãn \[\sin\alpha=a\] hay viết là \[\alpha=\arcsin a\]
Khi đó phương trình có nghiệm là:
\[x=\alpha+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\]
và\[x=\pi-\alpha+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin \dfrac{\pi}{3}\]
Khi đó:\[\sin 5x=\sin \dfrac{\pi}{3}\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\5x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
Vậy phương trình có nghiệm là:
\[\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] và \[\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\] \[[k\in\mathbb{Z}]\]
Đáp án: C.