Đề bài
Nghiệm lớn nhất của phương trình \[\sin 3x-\cos x=0\] thuộc đoạn\[\left[ { -\frac{{\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\]là
A. \[\dfrac{3\pi}{2}\] B. \[\dfrac{4\pi}{3}\]
C. \[\dfrac{5\pi}{4}\] D. \[\pi\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa phương trình về dạng \[\sin a=\sin b\]
Phương trình có các nghiệm là:
\[a = b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
và \[a=\pi-b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Lời giải chi tiết
Ta có:\[\sin 3x-\cos x=0\]
\[\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\]
\[\Leftrightarrow\sin 3x=\sin [\dfrac{\pi}{2}-x]\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-[\dfrac{\pi}{2}-x]+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \]
Trong đoạn\[\left[ { -\frac{{\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\], với \[x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\] ta có 4 giá trị là \[-\dfrac{3\pi}{8}\],\[\dfrac{\pi}{8}\],\[\dfrac{5\pi}{8}\] và\[\dfrac{9\pi}{8}\] ứng với các giá trị\[k=-1\], \[0\], \[1\] và \[2\] trong đó \[\dfrac{9\pi}{8}\] là giá trị lớn nhất.
Với \[x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\] ta có 2 giá trị là \[\dfrac{\pi}{4}\] và\[\dfrac{5\pi}{4}\] ứng với các giá trị\[k=-1\], \[0\] và \[1\] trong đó \[\dfrac{5\pi}{4}\] là giá trị lớn nhất.
Vì\[\dfrac{5\pi}{4} > \dfrac{9\pi}{8}\] nên\[\dfrac{5\pi}{4}\] là nghiệm lớn nhất của phương trình trong\[\left[ { -\frac{{\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\]
Đáp án: C.
Cách trắc nghiệm:
Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.
Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx 0 nên phương án B bị loại.
Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = [-2]/2, cos5π/3 = [-2]/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.