Đề bài
Gọi\[\displaystyleG\] là trọng tâm của tam giác\[\displaystyleABC.\]Vẽ điểm\[\displaystyleD\]sao cho\[\displaystyleG\]là trung điểm của\[\displaystyleAD.\]Chứng minh rằng:
a] Các cạnh của tam giác\[\displaystyleBGD\]bằng\[\displaystyle\displaystyle {2 \over 3}\]các đường trung tuyến của tam giác\[\displaystyleABC\]
b] Các đường trung tuyến của tam giác\[\displaystyleBGD\]bằng một nửa các cạnh của tam giác\[\displaystyleABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
+] Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Gọi\[\displaystyleAM, BN, CP\] là các đường trung tuyến của\[\displaystyleABC\] cắt nhau tại\[\displaystyleG.\]
Vì\[\displaystyleAG = GD\] [vì G là trung điểm của AD]
Mà\[\displaystyleAG = 2GM\] [suy ra từ tính chất đường trung tuyến]
Nên\[\displaystyleGD = 2GM\]
Lại có\[\displaystyleGD = GM + MD\]
Suy ra:\[\displaystyleGM = MD\]
Xét\[\displaystyleBMD\] và\[\displaystyleCMG:\]
+]\[\displaystyleBM = CM\] [gt]
+]\[\displaystyle\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CMG}\][đối đỉnh]
+]\[\displaystyleMD = GM\] [chứng minh trên]
Do đó:\[\displaystyleBMD = CMG\] [c.g.c]
\[\displaystyle\Rightarrow BD = CG\]
Mà\[\displaystyleCG = {2 \over 3}CP\][tính chất đường trung tuyến]
Suy ra:\[\displaystyleB{\rm{D = }}{2 \over 3}CP\] [1]
\[\displaystyleBG = {2 \over 3}BN\][tính chất đường trung tuyến] [2]
\[\displaystyle{\rm{A}}G = {2 \over 3}AM\][tính chất đường trung tuyến]
Suy ra:\[\displaystyleG{\rm{D}} = {2 \over 3}AM\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra các cạnh của\[\displaystyleBGD\] bằng\[\displaystyle{2 \over 3}\]các đường trung tuyến của\[\displaystyleABC.\]
b] * Vì\[\displaystyleGM = MD\] [chứng minh trên] nên\[\displaystyleBM\] là đường trung tuyến của\[\displaystyleBGD\]
Ta có \[\displaystyleBM = {1 \over 2}BC\] [4] [vì M là trung điểm BC]
* Kẻ đường trung tuyến\[\displaystyleGE\] và\[\displaystyleDF\] của\[\displaystyleBGD\]
\[\displaystyle\Rightarrow FG = {1 \over 2}BG\][vì F là trung điểm BG]
\[\displaystyleGN = {1 \over 2}BG\][tính chất đường trung tuyến]
Nên\[\displaystyleFG = GN\]
Xét\[\displaystyleDFG\] và\[\displaystyleANG:\]
+]\[\displaystyleAG = GD\] [gt]
+]\[\displaystyle\widehat {DGF} = \widehat {AGN}\][đối đỉnh]
+]\[\displaystyleGF = GN\] [chứng minh trên]
Do đó\[\displaystyleDFG = ANG\] [c.g.c]
\[\displaystyle\Rightarrow DF = AN \]
Mà\[\displaystyleAN = {1 \over 2}AC\][gt]
Suy ra:\[\displaystyle{\rm{D}}F = {1 \over 2}AC\] [5]
* Ta có\[\displaystyleBD = CG\] [chứng minh câu a]
Mà\[\displaystyle{\rm{ED}} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\][vì\[\displaystyleE\] là trung điểm\[\displaystyleBD]\]
\[\displaystyleGP = {1 \over 2}CG\][tính chất đường trung tuyến]
Suy ra:\[\displaystyleED = GP\]
Lại có\[\displaystyleBDM = CGM\] [chứng minh trên]
\[\displaystyle\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}M} = \widehat {CGM}\]hay\[\displaystyle\widehat {E{\rm{D}}G} = \widehat {CGM}\]
Mà\[\displaystyle\widehat {CGM} = \widehat {PGA}\][đối đỉnh]
Suy ra:\[\displaystyle\widehat {{\rm{ED}}G} = \widehat {PGA}\]
Lại có:\[\displaystyleAG = GD\] [gt] và\[\displaystyleED = GP\] [cmt]
Suy ra:\[\displaystylePGA = EDG\] [c.g.c]
\[\displaystyle\Rightarrow GE = AP\] mà \[\displaystyleAP = \dfrac{1}{2}AB\]
Suy ra:\[\displaystyleGE = {1 \over 2}AB\] [6]
Từ [4],[5] và [6] suy ra các đường trung tuyến của\[\displaystyleBGD\] bằng một nửa cạnh của\[\displaystyleABC.\]