Đề bài
Gọi \[A',B',C'\] tương ứng là ảnh của ba điểm \[A,B,C\] qua phép đồng dạng tỉ số \[k\]. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} = {k^2}\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép đồng dạng tỉ số \[k\] biến \[M\] thành \[M'\] và \[N\] thành \[N'\] thì \[M'N' = kMN\].
Lời giải chi tiết
Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có \[B'C' = kBC\], từ đó suy ra \[B'C{'^2} = {k^2}B{C^2}\].
\[ \Rightarrow {\left[ {\overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'B'} } \right]^2} = {k^2}{\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right]^2}\]
\[ \Rightarrow A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\]\[ = {k^2}\left[ {A{C^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A{B^2}} \right]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\\
= {k^2}A{C^2} - 2{k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + {k^2}A{B^2}
\end{array}\]
Mà \[A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2}\] nên:
\[\begin{array}{l}
A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\\
= A'C{'^2} - 2{k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A'B{'^2}\\
\Leftrightarrow - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = - 2{k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}
\end{array}\]
Vậy \[\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \] [đpcm].