Đề bài
Giải phương trình sau
\[\cot x - 1 = \]
\[\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
ĐKXĐ của hàm số dạng \[y = \dfrac{{f[x]}}{{g[x]}}\] là \[g[x] \ne 0\].
Sử dụng công thức \[\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\]; công thức nhân đôi \[\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\]; \[\sin 2x = 2\sin x\cos x\]; \[\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\]; \[\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\] để đưa phương trình về phương trình của hàm \[\tan x\].
Sau đó ta đặt \[t = \tan x\] để phương trình dễ nhìn hơn.
Sử dụng hằng đẳng thức số ba \[{a^2} - {b^2} = [a - b][a + b]\] để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \[\sin x \ne 0\]; \[\cos x \ne 0\] và \[\tan x \ne - 1\].
Ta có: \[\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\];
\[\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\];
\[\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\];
\[\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\]
Phương trình \[\cot x - 1 \]
\[=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \]
\[=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\]
Đặt \[t = \tan x\] ta được \[\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t[t - 1]}}{{{t^2} + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = [1 - t]t\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{[vô nghiệm]}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{[thỏa mãn]}\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\].
Cách khác:
Điều kiện của phương trình: sinx 0, cos 0, tan -1.
Biến đổi tương đương đã cho, ta được
Phương trình [2] vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| 2.
Phương trình [1] có nghiệm 2x = π/2+kπ,k Z x = π/4+ k π/2,k Z.
Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n Z bị loại do điều kiện tanx -1.
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\].