Đề bài
Cho hình vuông \[DEBC.\] Trên cạnh \[CD\] lấy điểm \[A,\] trên tia đối của tia \[DC\] lấy điểm \[K,\] trên tia đối tia \[ED\] lấy điểm \[M\] sao cho \[CA = DK = EM.\] Vẽ hình vuông \[DKIH\] [\[H\] thuộc cạnh \[DE\]]. Chứng minh rằng \[ABMI\] là hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức : Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Xét \[ CAB\] và \[ EMB :\]
\[CA = ME\] [gt]
\[\widehat {ACB} = \widehat {BEM} = {90^0}\]
\[CB = EB\] [tính chất hình vuông]
Do đó: \[ CAB = EMB\, [c.g.c]\]
\[ AB = MB\] [1]
\[AK = DK +DA\]
\[CD = CA + AD\]
mà \[CA = DK\] nên \[AK = CD\]
Xét \[ CAB\] và \[ KIA :\]
\[CA = KI\] [vì cùng bằng \[DK\]]
\[\widehat C = \widehat K = {90^0}\]
\[CB = AK\] [vì cùng bằng \[CD\]]
Do đó: \[ CAB = KIA\, [c.g.c]\]
\[ AB = AI\] [2]
Ta có: \[DH = DK\] [vì \[KDHI\] là hình vuông]
\[EM = DK\] [gt]
\[ DH + HE = HE + EM\]
hay \[ DE = HM\]
Xét \[ HIM\] và \[ EMB :\]
\[HI = EM\] [vì cùng bằng \[DK\]]
\[\widehat H = \widehat E = {90^0}\]
\[HM = EB\] [vì cùng bằng \[DE\]]
Do đó: \[ HIM = EMB\, [c.g.c]\]
\[ IM = MB\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[AB = BM = AI = IM\]
Tứ giác \[ABMI\] là hình thoi.
Mặt khác, ta có \[ ACB = MEB\] [chứng minh trên]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {EBM} \cr & \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = \widehat {CBE} = {90^0} \cr} \]
Suy ra: \[\widehat {EBM} + \widehat {ABE} = {90^0}\] hay \[\widehat {ABM} = {90^0}\]
Vậy : Tứ giác \[ABMI\] là hình vuông.