Đề bài
Trong khoảng\[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right],\]phương trình\[{\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\]có:
[A] 1 nghiệm [B] 2 nghiệm
[C] 3 nghiệm [D] 4 nghiệm
Lời giải chi tiết
Chọn phương án [D]
Đặt \[y = 4x\] ta có \[0 < x < {\pi \over 2} \Rightarrow 0 < y < 2\pi .\]
Phương trình đã cho trở thành:
\[{\sin ^2}y + 3\sin y\cos y - 4{\cos ^2}y = 0\]
Nếu \[\cos y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{\pi }{2} + k\pi \] thì \[{\sin ^2}y = 1\], thay vào phương trình trên ta được:
\[1 + 3.0 - 4.0 = 1 \ne 0\] nên \[y = \frac{\pi }{2} + k\pi \] không thỏa mãn phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \[{\cos ^2}y \ne 0\] ta được:
\[{\tan ^2}y + 3\tan y - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \]\[\left[ \matrix{
\tan y = 1 \hfill \cr
\tan y = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Trong khoảng \[\left[ {0;2\pi } \right],\] mỗi phương trình \[\tan y = 1\] và \[\tan y = - 4\] đều có hai nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm trong khoảng đang xét.