Đề bài
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, DC, DB. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:
a. Hình chữ nhật
b. Hình thoi
c. Hình vuông
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Vận dụng kiến thức : Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông có liên quan đến hình bình hành và tìm lời giải cho bài toán.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABC:
Ta có: EB = EA, FA = FC [gt]
Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra EF // BC, EF = \[\displaystyle {1 \over 2}\]BC [tính chất]
Xét tam giác BDC có:
HB = HD, GD = GC [gt]
Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra HG // BC, HG = \[\displaystyle{1 \over 2}\]BC[tính chất]
Do đó EF //HG, EF = HG.
Vậy EFGH là hình bình hành.
Xét tam giác ABD:
Ta có: EB = EA, HB = HD [gt]
Nên EH là đường trung bình của tam giác ABD
Suy ra EH // AD, EH = \[\displaystyle {1 \over 2}AD\] [tính chất]
a] Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật EH EF
MàEF // BC và EH//AD [chứng minh trên]
Do đó \[EH EF AD BC \]
Hay đểEFGH là hình chữ nhật thì \[AD BC \]
b] Hình bình hành EFGH là hình thoi EH = EF
MàEH = \[\displaystyle {1 \over 2}AD\] vàEF = \[\displaystyle {1 \over 2}\]BC [chứng minh trên]
Nên \[EH = EF AD = BC\]
VậyEFGH là hình thoi AD = BC.
c]EFGH là hình vuông khi EFGH vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật
Từ câu a, b ta có EFGH là hình vuông AD BC và AD = BC