Đề bài
Chứng minh rằng nếu \[z\] là một căn bậc hai của số phức \[{\rm{w}}\] thì \[\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \].
Lời giải chi tiết
Giả sử \[z=x+yi\] và \[\rm{w}=a+bi\]
\[z\] là một căn bậc hai của số phức w thì \[{z^2} = {\rm{w}}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {x + yi} \right]^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]^2} = {a^2} \hfill \cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \]
\[ \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}} = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \]