Đề bài
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Cụ thể là:
Nếu góc \[BAx\] [với đỉnh \[A\] nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung \[AB\]], có số đo bằng nửa số đo cung \[AB\] căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \[Ax\] là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta chứng minh \[OA \bot Ax\] để chỉ ra \[Ax\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right].\]
Lời giải chi tiết
Kẻ đường kính vuông góc với \[AB\] tại \[H\] và cắt cung \[AB\] tại \[M\] \[ \Rightarrow \] \[\overparen{AM}=\overparen{BM}\] vì đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.
Ta có \[\widehat {AOM} = \] sđ\[\overparen{AM}\]\[ = \dfrac{1}{2}\] sđ\[\overparen{AB}\] [1]
Theo giả thiết ta có
\[\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}\] sđ\[\overparen{AB}\] [2]
vì\[\overparen{AM}=\overparen{MB}\] và từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BAx}\]
Trong \[\Delta AOH\] vuông tại \[H\] ta có:
\[\widehat {AOH} + \widehat {HAO} = 90^\circ \]
Vậy \[\widehat {BAx} + \widehat {HAO} = 90^\circ \Rightarrow Ax \bot OA\] tại \[A.\]
Suy ra \[Ax\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ O \right].\]