Đề bài
Ba phân thức sau có bằng nhau không?
\[ \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x}\];\[ \dfrac{x - 3}{x}\];\[ \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: \[ \dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\]nếu \[AD = BC\], ta lần lượt xét từng đôi một.
Lời giải chi tiết
Ta chỉ cần xét xem hai đẳng thức:\[ \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} = \dfrac{x - 3}{x}\] và\[ \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\] có đúng hay không.
+] Xét đẳng thức thứ nhất. Tương tự như cách giải bài tập \[1\], ta có:
\[\left[ {{x^2}-2x-3} \right]x = {x^3}-2{x^2}-3x \]
\[\left[ {{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x} \right]\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right] \]\[= {x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }}\]\[ = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x\]
Suy ra:\[\left[ {{x^2}-2x-3} \right]x =\left[ {{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x} \right]\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right] \]
Vậy\[ \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} = \dfrac{x - 3}{x}\]
Xét đẳng thức thứ hai. Ta có:
\[\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right][{x^2}-{\rm{ }}x]{\rm{ }} \]\[= {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} \]\[= {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\]
\[x[{x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3]{\rm{ }} \]\[= {x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\]
Suy ra: \[\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right][{x^2}-{\rm{ }}x]{\rm{ }} \]\[= x[{x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3]\]
Vậy \[ \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\]
Kết luận:\[ \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} \]\[= \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\]