Đề bài
Cho tam giác ABC có \[AB = c,AC = b\][với \[b \ne c\]], phân giác trong AD = k [D nằm trên cạnh BC], BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \[{k^2} = bc - de\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý cô sin cho các tam giác \[ABD\] và \[ACD\].
Lời giải chi tiết
Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \[\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\]
\[ \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = \cos\widehat {DAC}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{{2AB.AD}}\]\[ = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC.AD}}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{{c^2} + {k^2} - {d^2}}}{{2c.k}} = \dfrac{{{b^2} + {k^2} - {e^2}}}{{2b.k}}\] \[ \Rightarrow b\left[ {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right] = c\left[ {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right][*]\]
Vì AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \[\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\]
\[ \Rightarrow DB.AC = DC.AB\] \[ \Rightarrow bd = ce\]
Từ [*] ta suy ra
\[\begin{array}{l}
\left[ * \right] \Leftrightarrow b{c^2} + b{k^2} - b{d^2} = c{b^2} + c{k^2} - c{e^2}\\
\Leftrightarrow b{c^2} - c{b^2} + b{k^2} - c{k^2} + c{e^2} - b{d^2} = 0\\
\Leftrightarrow bc\left[ {c - b} \right] + \left[ {b - c} \right]{k^2} + bd.e - ce.d = 0\\
\Leftrightarrow - bc\left[ {b - c} \right] + \left[ {b - c} \right]{k^2} + de\left[ {b - c} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {b - c} \right]\left[ { - bc + {k^2} + de} \right] = 0\\
\Leftrightarrow - bc + {k^2} + de = 0\\
\Leftrightarrow {k^2} = bc - de
\end{array}\]
[vì \[b \ne c\]] [điều phải chứng minh]