Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có cạnh \[BC\] cố định. Gọi \[I\] là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm \[I\] khi \[A\] thay đổi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta chứng minh hai phần:
+ Phần thuận: Tính góc \[\widehat {BIC}\] rồi kết luận theo quỹ tích cung chứa góc dựng trên đoạn BC.
+ Phần đảo: Lấy I thuộc cung chứa góc vừa xác định xong, ta chứng minh I là giao của ba đường phân giác góc trong của tam giác \[A'BC.\] [Với \[A'\] được dựng sao cho \[\widehat {I'BA'} = \widehat {I'BC}\]]
Lời giải chi tiết
a] Phần thuận:
Điểm A luôn nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc \[90^\circ \] nên quỹ tích điểm \[A\] là đường tròn đường kính \[BC.\]
Vì \[\widehat {BIC} = \widehat {{I_1}} + \widehat {{I_2}}\] [1]
\[\Delta AIB\] và \[\Delta AIC\] lần lượt có góc \[{I_1}\] và \[{I_2}\] là các góc ngoài, nên ta có :
\[\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{A_1}}\] [2] và \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{A_2}} + \widehat {{C_1}}\] [3]
Cộng [2] với [3] và từ [1], ta được \[\widehat {BIC} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{C_1}}\] mà \[\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\]\[ = \dfrac{{90^\circ }}{2}\] vì theo giả thiết \[AI;BI\] và \[CI\] là các đường phân giác của góc các góc \[A,B,C.\]
Do đó, \[\widehat {BIC} = \widehat A + 45^\circ = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\]\[ \Rightarrow \widehat {BIC}\] luôn không đổi.
Khi điểm \[A\] thay đổi trên đường tròn đường kính\[BC\] thì điểm I thay đổi và luôn nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc \[135^\circ .\]
Vậy điểm I thuộc hai cung tròn chứa góc \[135^\circ \] và dựng cố định trên đoạn BC.
b] Phần đảo:
Lấy I bất kì trên cung \[Bm'C\] [hoặc cung \[BmC]\], ta chứng minh I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác \[A'BC\] vuông tại \[A'.\]
Nối \[BI';CI'\]. Để xác định điểm \[A'\] ta dựng góc \[I'Bx\] bằng góc \[I'BC.\] Đường thẳng \[Bx\] cắt đường tròn đường kính \[BC\] chính là điểm \[A'.\] Nối \[A'\] với \[C\] và \[I'\] ta được tam giác \[A'BC\] vuông, \[\widehat {A'} = 90^\circ \] vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Vì \[I'\] nằm trên cung \[Bm'C\] nên \[\widehat {BI'C} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = 45^\circ .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 4 \right]\]
Mặt khác \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ\] [5]
\[\widehat B = \widehat {I'BC}\]\[ + \widehat {I'BA'}\]
\[\widehat C = \widehat {I'CB}\]\[ + \widehat {I'OA'}\] nên từ [5] ta có :
\[\widehat {I'BA'} + \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} + \widehat {I'CA'} = 90^\circ .\]
Từ [4] \[ \Rightarrow \widehat {I'BA'} + \widehat {I'CA'} = 45^\circ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 6 \right]\]
Từ [4] và [6] ta có \[\widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = \widehat {I'BA'} + \widehat {I'CA'}.\]
Mà\[\widehat {I'BA'} = \widehat {I'BC}\] theo cách dựng, nên ta có \[\widehat {I'CB} = \widehat {I'CA'} \Rightarrow I'C\] là đường phân giác của góc \[C\], hay \[I'\] là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác \[A'BC.\]
c] Kết luận: Quỹ tích các điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong thỏa mãn \[\widehat {BIC} = 135^\circ \] là điểm thuộc hai cung tròn chứa góc \[135^\circ \] dựng trên đoạn BC.