Đề bài
Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\] có công sai \[d > 0,{u_{31}} + {u_{34}} = 11\] và \[{\left[ {{u_{31}}} \right]^2} + {\left[ {{u_{34}}} \right]^2} = 101\]. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Ta có
\[\eqalign{
& 101 = {\left[ {{u_{31}}} \right]^2} + {\left[ {{u_{34}}} \right]^2} \cr&\;\;\;\;\;= {1 \over 2}\left[ {{{\left[ {{u_{31}} - {u_{34}}} \right]}^2} + {{\left[ {{u_{31}} + {u_{34}}} \right]}^2}} \right] \cr&\;\;\;\;\;= {1 \over 2}\left[ {{{11}^2} + {{\left[ {{u_{31}} - {u_{34}}} \right]}^2}} \right] \cr
& \Rightarrow {\left[ {{u_{31}} - {u_{34}}} \right]^2} = 2 \times 101 - 121 = 81 = {9^2}\,\,\,\,\,\,[1] \cr} \]
Vì \[d > 0\] nên \[{u_{31}} < {u_{34}}.\] Do đó, từ [1] ta được \[{u_{31}} - {u_{34}} = - 9,\] hay
\[ - 9 = {u_{31}} - {u_{34}} = [{u_1} + 30d] - [{u_1} + 33d] = - 3d \]
\[\Rightarrow d = 3\]
Vì thế
\[\eqalign{
& 11 = {u_{31}} + {u_{34}} = \left[ {{u_1} + 30d} \right] + \left[ {{u_1} + 33d} \right] \cr&\;\;\;\;\;= 2{u_1} + 63d = 2{u_1} + 63 \times 3 = 2{u_1} + 189 \cr
& \Rightarrow {u_1} = - 89. \cr} \]
Từ đó suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là :
\[{u_n} = - 89 + [n - 1].3\] hay \[{u_n} = 3n - 92\]