Đề bài
Cho tam giác đều \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn bán kính \[1cm\]. Diện tích của tam giác \[ABC\] bằng:
[A] \[6cm^{2}\];
[B] \[\sqrt{3}cm^{2}\];
[C]\[\dfrac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}\]
[D]\[3\sqrt{3}cm^{2}.\]
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất: Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
+] Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\]. Khi đó: \[AB=BC. \sin C;\ AC=BC. \sin B\].
+] Công thức tính diện tích tam giác: \[S=\dfrac{1}{2}.h.a\]
trong đó \[h\] là độ dài đường cao, \[a\] là độ dài cạnh ứng với đường cao.
Lời giải chi tiết
Gọi \[[O]\] là đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] và H là tiếp điểm thuộc AB.
Khi đó \[OH=1\] là bán kính của \[[O]\]
Ta có: \[CH\bot AB\]
Trong tam giác đều ABC, đường cao CH cũng là đường trung tuyến.
Vì tam giác ABC đều nên O cũng là trọng tâm tam giác.
Theo tính chất đường trung tuyến, ta có:
\[OH=\dfrac{1}{3}CH \Rightarrow CH=3.OH=3.1=3.\]
Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[\widehat{B}=60^o\].
Xét tam giác \[CHB\], vuông tại \[H\], \[\widehat{B}=60^o,\ CH=3\]. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
\[CH=CB. \sin B \Rightarrow CB=\dfrac{CH}{\sin B}=\dfrac{3}{\sin 60^o}=2\sqrt 3\]
Suy ra\[AB=AC=BC=2\sqrt{3}[cm].\]
Do đó diện tích tam giác \[ABC\] là
\[S=\dfrac{1}{2}CH.AB=\dfrac{1}{2}.3. 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}[cm^{2}].\]
Ta chọn [D].