Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] và một điểm \[O\] nằm trong tam giác đó. Gọi \[P, Q, R\] lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \[OA, OB, OC.\]
a] Chứng minh rằng tam giác \[PQR\] đồng dạng với tam giác \[ABC.\]
b] Tính chu vi của tam giác \[PQR\], biết rằng tam giác \[ABC\] có chu vi \[p\] bằng \[543\,cm\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Tính chất: Đường trung bình tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\]
Lời giải chi tiết
a] Xét \[\Delta AOB\] có:
\[P\] là trung điểm của \[OA\] [gt]
\[Q\] là trung điểm của \[OB\] [gt]
Do đó \[ PQ\] là đường trung bình của \[ OAB.\]
\[ \Rightarrow \displaystylePQ = {1 \over 2}AB\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow\displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\] [1]
Xét \[\DeltaOAC\] có:
\[P\] là trung điểm của \[OA\] [gt]
\[R\] là trung điểm của \[OC\] [gt]
Do đó \[PR\] là đường trung bình của tam giác \[OAC.\]
\[ \Rightarrow\displaystyle PR = {1 \over 2}AC\] [tính chất đường trung bình của tam giác ]
\[ \Rightarrow\displaystyle{{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\] [2]
Xét \[\DeltaOBC\] có:
\[Q\] là trung điểm của \[OB\] [gt]
\[R\] là trung điểm của \[OC\] [gt]
Do đó \[QR\] là đường trung bình của tam giác \[OBC.\]
\[ \Rightarrow\displaystyle QR = {1 \over 2}BC\] [tính chất đường trung bình của tam giác ]
\[ \Rightarrow\displaystyle{{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\]
Vậy \[ PQR\] đồng dạng \[ ABC \] [c.c.c].
b] Gọi \[p\] là chu vi tam giác \[PQR.\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\displaystyle{{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}}\]\[\,\displaystyle = {{PQ + PR + QR} \over {AB + AC + BC}} = {{p'} \over p}=\dfrac{1}{2}\]
\[\displaystyle \Rightarrow p' = {1 \over 2}p = {1 \over 2}.543 = 271,5\; [cm]\].