Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1] và D[1; 1; 0].
a] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b] Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu [S] với mặt phẳng [ACD].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi phương trình mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]
- Thay tọa độ các điểm \[A,B,C,D\] vào phương trình mặt cầu tìm \[a,b,c,d\].
Lời giải chi tiết
a] Phương trình mặt cầu [S] có dạng \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] [*]
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào [*] ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2a + d = 0}\\{1 - 2b + d = 0}\\{1 - 2c + d = 0}\\{2 - 2a - 2b + d = 0}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{2}}\\{c = \dfrac{1}{2}}\\{d = 0}\end{array}} \right.\]
Vậy phương trình mặt cầu [S] là: x2 + y2 + z2 x y z = 0
b] Ta có \[\overrightarrow {AC} = [ - 1;0;1]\] và \[\overrightarrow {AD} = [0;1;0]\]
Suy ra [ACD] có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = [ - 1;0; - 1]\] hay \[\overrightarrow {n'} = [1;0;1]\]
Vậy phương trình của mặt phẳng [ACD] là x 1 + z = 0 hay x + z 1 = 0
Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\]
Ta có \[I \in [ACD]\], suy ra mặt phẳng [ACD] cắt [S] theo một đường tròn có tâm \[I\left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\] và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu [S], vậy:
\[r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \]\[ = \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].