Đề bài
Cho tứ diệnABCD. Gọidlà khoảng cách giữa hai đường thẳngABvàCD, \[\alpha \] là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d.\sin \alpha .\]
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Dựng hình hộp AEBF.MDNC [ gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD].
Vì \[\left[ {AEBF} \right]//\left[ {MDNC} \right]\] nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.
Theo bài 37 ta có :
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 3}\] Vhộp
\[\eqalign{ & = {1 \over 3}{S_{MDNC}}.d \cr & = {1 \over 3}.{1 \over 2}MN.CD\sin \alpha .d = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha . \cr} \]
Cách 2.
Dựng hình bình hành ABCE . Khi đó :
\[{V_{A.BCD}} = {V_{E.BCD}}\] [do \[AE//\left[ {BCD} \right]\]] [1]
\[\eqalign{ & {V_{E.BCD}} = {V_{B.ECD}}\;\;\;\;\;[2] \cr & {V_{B.ECD}} = {1 \over 3}{S_{ECD}}.d\left[ {B,\left[ {CDE} \right]} \right]\;\;\;[3] \cr & \cr} \]
\[{S_{ECD}} = {1 \over 2}CE.CD.\sin\widehat {ECD}\]
\[= {1 \over 2}AB.CD\sin \alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[4] \]
\[d\left[ {B,\left[ {CDE} \right]} \right] = d\left[ {AB,CD} \right][\] do \[AB//\left[ {CDE} \right]]\;[5]\]
Từ [1], [2], [3], [4], [5] suy ra :
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha .\]
.com