Đề bài
Cho điểm \[A[1 ; 3]\] và đường thẳng \[\Delta : x - 2y + 1 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với \[\Delta \] qua \[A.\]
Lời giải chi tiết
Cách 1:Thay tọa độ điểm \[A\] vào \[\Delta \], ta có \[1 - 2.3 + 1 = - 4 \ne 0\], suy ra \[A \notin \Delta \].
Lấy \[M[1 ; 1] \in \Delta \]. Khi đó điểm \[M\] đối xứng với \[M\] qua \[A\] có tọa độ \[M=[1 ; 5]\]. Đường thẳng \[\Delta '\] đối xứng với \[\Delta \] qua \[A\] sẽ đi qua \[M\] và song song với \[\Delta \]. Từ đó ta có phương trình của \[\Delta '\] là \[x-2y+9=0.\]
Cách 2: Xét điểm \[M[x_1; y_1]\] tùy ý thuộc \[\Delta \] và gọi \[M[x_2; y_2]\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[A\]. Suy ra \[{x_1} = 2 - {x_2} ; {y_1} = 6 - {y_2}\].
\[\begin{array}{l}M \in \Delta \Leftrightarrow {x_1} - 2{y_1} + 10\\ \Leftrightarrow 2 - {x_2} - 2[6 - {y_2}] + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x_2} - 2{y_2} + 9 = 0\\ \Leftrightarrow M' \in \Delta ' : x - 2y + 9 = 0.\end{array}\]