Đề bài
Số nguyên tố dạng \[{M_p} = {2^p} - 1\], trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen [M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp].
Ơ-le phát hiện \[{M_{31}}\] năm 1750.
Luy-ca [Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp]. Phát hiện \[{M_{127}}\] năm 1876.
\[{M_{1398269}}\] được phát hiện năm 1996.
Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?
[Dễ thấy rằng số chữ sốcủa \[{2^p} - 1\] bằng số chữ số của \[{2^p}\] và để tính chữ số của \[{M_{127}}\] có thể lấy \[\log 2 \approx 0,30\] và để tính chữ số của \[{M_{1398269}}\] có thể lấy \[\log 2 \approx 0,30103\][xem ví dụ 8]]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tìm số các chữ số của\[{2^n}\]khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của\[\log 2\] và được:\[N = \left[ {n.\log 2} \right] + 1\] với \[N\]là số chữ số cần tìm
Lời giải chi tiết
+] \[{M_{31}} = {2^{31}} - 1\].
Số các chữ số của \[{M_{31}}\] khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của \[{2^{31}}\] nên số các chữ số của \[{M_{31}}\]. Lấy \[\log 2 \approx 0,3\] ta được:
\[N=\left[ {31.\log 2} \right] + 1 = \left[ {31.0,3} \right] + 1\] \[= \left[ {9,3} \right] + 1 =9+1= 10\]
+] \[{M_{127}} = {2^{127}} - 1\]
Khi viết trong hệ thập phân [lấy\[\log 2 \approx 0,30\]], số các chữ số của \[M_{127}\] là
\[N=\left[ {127.\log 2} \right] + 1 = \left[ {127.0,30} \right] + 1\] \[= \left[ {38,1} \right] + 1 =38+1= 39\]
+] \[{M_{1398269}}\]
Khi viết trong hệ thập phân [lấy\[\log 2 \approx 0,30103 \]], số các chữ số của \[M_{1398269 }\]là
\[\left[ {1398269.\log 2} \right] + 1 \]\[= \left[ {1398269.0,30103} \right] + 1\] \[ = \left[ {420920,9171} \right] + 1 \] \[= 420920 + 1\] \[= 420921\]