Đề bài
Cho đường tròn đường kính \[AB\] có dây cung \[CD\] vuông góc với \[AB\]. Với mỗi điểm \[M\] chạy trên đường tròn đó [khác với \[C\] và \[D\]], kẻ các đường thẳng \[AM, BM\] lần lượt cắt đường thẳng \[CD\] ở \[J\] và \[I.\]
a] Chứng minh rằng từ điểm \[P\] bất kì cố định trên đường thẳng \[AB,\] có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn \[[MIJ].\]
b] Kẻ các tiếp tuyến \[AT, AT\] đến đường tròn \[[MIJ]\] [\[T, T\] là các tiếp điểm ]. Chứng minh rằng \[T, T\] luôn thuộc một đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết
[h.50].
a] Ta có \[B\] là điểm chính giữa của cung \[CD\] [do \[AB \bot CD\]] và \[MA \bot MB\] [\[\widehat {AMB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] nên \[MB\] và \[MA\] là phân giác trong và phân giác ngoài của góc \[CMD.\]
Từ đó suy ra \[\dfrac{{\overline {IC} }}{{\overline {ID} }} = - \dfrac{{\overline {JC} }}{{\overline {JD} }}. [*]\]
Gọi \[H\] là giao điểm của \[AB\] và \[CD, O\] là tâm đường tròn \[[MIJ]\] thì \[H\] là trung điểm của \[CD\] và \[O\] là trung điểm của \[IJ.\]
Từ [*] suy ra \[\overline {IC} .\overline {JD} + \overline {JC} .\overline {ID} = 0\] hay
\[\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left[ {\overline {OC} - \overline {OI} } \right].\left[ {\overline {OD} - \overline {OJ} } \right] + \\\left[ {\overline {OC} - \overline {OJ} } \right].\left[ {\overline {OD} - \overline {OI} } \right] = 0\end{array}\\\begin{array}{l} \Rightarrow \overline {OC} .\overline {OD} + \overline {OI} .\overline {OJ} - \overline {OC} .\overline {OJ} - \overline {OI} .\overline {OD} \\ + \overline {OC} .\overline {OD} + \overline {OI} .\overline {OJ} - \overline {OD} .\overline {OJ} - \overline {OI} .\overline {OC} = 0\end{array}\\\begin{array}{l} \Rightarrow - \left[ {\overline {OC} + \overline {OD} } \right]\left[ {\overline {OI} + \overline {OJ} } \right]\\ + 2\left[ { - {{\overline {OI} }^2} + \overline {OC} .\overline {OD} } \right] = 0\end{array}\end{array}\]
Do \[\overline {OI} + \overline {OJ} = 0\] nên \[O{I^2} = \overline {OC} .\overline {OD} < {\left[ {\dfrac{{\overline {OC} + \overline {OD} }}{2}} \right]^2}.\]Mà \[\dfrac{{\overline {OC} + \overline {OD} }}{2} = \overline {OH} \] nên \[O{I^2} < O{H^2}\] hay \[OI < OH\]. Vậy \[H\] và cả đường thẳng \[AB\] nằm ngoài đường tròn \[[MIJ]\]. Từ đó suy ra từ điểm \[P\] bất kì trên \[AB\], kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn \[[MIJ]\].
b] Ta có \[A{T^2} = AT{'^2} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AJ} \] mà \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB} \] không đổi [do \[A, H, B\] cố định].
Vậy \[A{T^2} = AT{'^2} = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB} \] không đổi, suy ra \[T\] và \[T\] luôn thuộc đường tròn tâm \[A\] bán kính bằng \[\sqrt {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB} } \].