Đề bài
Với \[ a 0, b 0\], chứng minh
\[ \displaystyle\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a - b]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
Với\[{\rm{A}} \ge {\rm{0}}\] thì\[A = \sqrt {{A^2}} \]
Lời giải chi tiết
Vì \[a 0\] nên \[\sqrt a \] xác định, \[b 0\] nên \[\sqrt b \] xác định.
Ta có:
\[{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0 \]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\]
\[\Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow 2[a + b] \ge {\left[ {\sqrt a } \right]^2} + 2\sqrt {ab} + {\left[ {\sqrt b } \right]^2}\]
\[\Leftrightarrow 2[a + b] \ge {\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]^2} \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2}} \over 4} \]
\[\displaystyle\Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2}} \over 4}} \]
\[\displaystyle\Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \]