Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng \[AD\] vuông góc với \[AB\] và bằng \[AB\] [\[D\] khác phía \[C\] đối với \[ AB\]], vẽ đoạn thẳng \[AE \] vuông góc với \[AC\] và bằng \[AC\] [\[E\] khác phía \[B\] đối với \[AC\]]
Chứng minh rằng:
a] \[DC = BE\]
b] \[{\rm{D}}C \bot\, BE\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
- Tổng các góc của một tam giác bằng \[180^o\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} =\widehat {BAC} +\widehat {EAC}= \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \widehat {CA{\rm{D}}} =\widehat {BAC} +\widehat {BAD}= \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \]
Xét \[ABE\] và \[ADC\], ta có:
\[AB = AD\] [gt]
\[\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\] [chứng minh trên]
\[AE = AC\] [gt]
\[\RightarrowABE = ADC\] [c.g.c]
\[\Rightarrow BE= DC\] [hai cạnh tương ứng]
b] Gọi giao điểm \[DC\] và \[AB\] là \[H\], giao điểm của \[CD\] và \[BE\] là \[K\]
Ta có: \[ABE = ADC\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat D\] [1]
Xét tam giác vuông \[AHD\] có \[\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \][tính chất tam giác vuông] [2]
Mà: \[\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\][đối đỉnh] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \] hay \[\widehat {HBK}+ \widehat {KHB} = 90^\circ \]
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \[KHB\], ta có:
\[\widehat {KHB} + \widehat {HBK} + \widehat {BKH} = 180^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ - \left[ {\widehat {HBK} + \widehat {KHB}} \right]\]\[\, = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Vậy \[DC \bot BE\].