Đề bài
Cho đường thẳng \[d\] và điểm \[P\] không nằm trên \[d\]. Hình 46 minh họa cho cách dựng: đường thẳng đi qua điểm \[P\] và vuông góc với đường thẳng \[d\] bằng thước và compa như sau:
[1] Vẽ đường tròn tâm \[P\] với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt \[d\] tại hai điểm \[A\] và \[B\]
[2] Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm \[A\] và \[B\] sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là \[C\; [ C P ]\].
[3] Vẽ đường thẳng \[PC\]
Em hãy chứng minh đường thẳng \[PC\] vuông góc với \[d\].
Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa [bằng thước và compa]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết
a]
\[A, B\] nằm trên cung tròn có tâm \[P\] nên \[PA = PB.\]
Do đóP nằm trên đường trung trực của AB[Theo định lí \[2\]]
\[C\] là giao điểm của \[2\] cung có bán kính bằng nhau có tâm tại \[A\] và tại \[B\] nên \[CA = CB.\]
Do đó C nằm trên đường trung trực của AB[Theo định lí \[2\]]
\[ \Rightarrow\] \[P; C\] đềunằm trên đường trung trực của AB.
\[ \Rightarrow\]Đường thẳng \[CP\] là đường trung trực của \[AB\]
Do đó: \[PC d\]
b] Một cách vẽ khác
- Lấy hai điểm \[A, B\] bất kì trên \[d.\]
- Vẽ cung tròn tâm \[A\] bán kính \[AP\], cung tròn tâm \[B\] bán kính \[BP\]. Hai cung tròn cắt nhau tại \[C\] [\[C\] khác \[P\]].
- Vẽ đường thẳng \[PC\]. Khi đó \[PC\] là đường đi qua \[P\] và vuông góc với \[d.\]
Chứng minh :
\[PA = CA\] [vì \[P,C\] cùng thuộc cung tròn tâm \[A\] bán kính \[PA\]]
\[ A\] thuộc đường trung trực của \[PC\] [Theo định lí 2]
\[PB = CB\] [vì \[P, C\] cùng thuộc cung tròn tâm \[B\] bán kính \[PB\]]
\[ B\] thuộc đường trung trực của \[PC\] [Theo định lí 2]
\[ AB\] là đường trung trực của \[PC\]
\[ PC AB\] hay \[PC d.\]