Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Gọi \[R\] là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, \[r\] là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC.\] Chứng minh rằng: \[AB + AC = 2[R + r].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+] Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+] Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là trung điểm của cạnh huyền \[BC.\]
Ta có: \[ BC = 2R\]
Giả sử đường tròn tâm \[[O]\] nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại \[D, AC\] tại \[E\] và \[BC\] tại \[F.\]
Ta có: \[OD \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \]
\[OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \]
\[\widehat {BAC} = 90^\circ \] [gt]
Tứ giác \[ADOE\] có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có: \[AD = AE\] [tính chất hai tiếp tuyến giao nhau]
Vậy tứ giác \[ADOE\] là hình vuông.
Suy ra: \[AD = AE = EO = OD = r\]
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+] \[ AD = AE\]
+] \[ BD = BF\]
+] \[ CE = CF\]
Ta có: \[ 2R + 2r =BC+AD+AE\]\[= BF + FC + AD + AE\]
\[ = [BD + AD] + [AE +CE]\]
\[ = AB + AC\]
Vậy \[AB + AC = 2 [R + r].\]