Đề bài
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau: \[y = {x \over {{x^2} - 1}}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính đạo hàm cấp 1 rồi tính tiếp đạo hàm cấp 2 của hàm số.
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}
y = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{x - 1 + x + 1}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{x - 1}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} + \dfrac{{x + 1}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]\\
y' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{ - \left[ {x + 1} \right]'}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} + \dfrac{{ - \left[ {x - 1} \right]'}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} + \dfrac{{ - 1}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}} \right]\\
y'' = \dfrac{1}{2}\left[ { - \dfrac{{ - \left[ {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^4}}} - \dfrac{{ - \left[ {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^4}}}} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 1} \right]'}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^4}}} + \dfrac{{2\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right]'}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^4}}}} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{2}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^3}}} + \dfrac{2}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^3}}}} \right]\\
= \dfrac{1}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^3}}} + \dfrac{1}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^3}}}
\end{array}\]