Đề bài
Cho điểm \[A[-1 ; 3]\] và đường thẳng \[\Delta \] có phương trình \[x-2y+2=0\]. Dựng hình vuông \[ABCD\] sao cho hai đỉnh \[B, C\] nằm trên \[\Delta \] và các tọa độ của đỉnh \[C\] đều dương.
a] Tìm tọa độ các đỉnh \[B, C, D.\]
b] Tính chu vi và diện tích của hình vuông \[ABCD.\]
Lời giải chi tiết
[h.93].
a] Đường thẳng \[d\] qua \[A\] và vuông góc với \[\Delta \] có phương trình \[2[x+1]+y-3=0\] hay \[2x+y-1=0.\]
Tọa độ của \[B\] là nghiệm của hệ \[\left\{ \matrix{ x - 2y + 2 = 0 \hfill \cr 2x + y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\].
Giải hệ này ta được \[\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right.\].
Vậy \[B=[0 ; 1]\]
\[AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \].
Tọa độ của \[C\] là nghiệm của hệ \[\left\{ \matrix{ {x_C} - 2{y_C} + 2 = 0 \hfill \cr \sqrt {x_C^2 + {{[{y_C} - 1]}^2}} = \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\].
Giải hệ này ta được \[\left\{ \matrix{ {x_C} = - 2 \hfill \cr {y_C} = 0 \hfill \cr} \right.\] hoặc \[\left\{ \matrix{ {x_C} = 2 \hfill \cr {y_C} = 2 \hfill \cr} \right.\].
Nghiệm đầu bị loại do \[y_C=0\]. Vậy \[C=[2 ; 2].\]
Do \[ABCD\] là hình vuông nên \[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}. \]
Suy ra
\[\left\{ \matrix{ {x_D} - 2 = - 1 - 0 \hfill \cr {y_D} - 2 = 3 - 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 1 \hfill \cr {y_D} = 4 \hfill \cr} \right.\].
Vậy \[D=[1 ; 4].\]
b] Chu vi hình vuông \[ABCD\] bằng \[4\sqrt 5 \], diện tích bằng \[5.\]