Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\], bán kính \[OM\]. Vẽ đường tròn tâm \[O'\], đường kính \[OM\]. Một bán kính \[OA\] của đường tròn \[[O]\] cắt đường tròn \[[O']\] ở \[B\].
Chứng minh cung \[MA\] và cung \[MB\] có độ dài bằng nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
+] Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn.
+] Độ dài cung \[n^0\] của đường tròn bán kính \[R\] là: \[l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\]
Lời giải chi tiết
Đặt \[\widehat {MOB} = \alpha \]
\[\Rightarrow \widehat {MO'B} = 2\alpha\] [góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn \[[O]\] cùng chắn cung \[BM\]].
Ta có: \[\widehat{BO'M}\] là góc ở tâm chắn cung \[BM \Rightarrow sđ\overparen{MB}= 2\alpha. \]
\[\Rightarrow\] Độ dài cung \[MB\] là:
\[\displaystyle {{l_\overparen{MB}}} = {{\pi .O'M.2\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi .O'M.\alpha } \over {{{90}^0}}}[1]\]
Xét đường tròn \[[O]\], ta có:
\[\widehat{AOM}\] là góc ở tâm chắn cung \[AM \Rightarrow sđ\overparen{AM}= \alpha.\]
\[\Rightarrow\] Độ dài cung \[MA\] là:
\[\displaystyle {{l_\overparen{MA}}} = {{\pi .OM.\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{2\pi .O'M.\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi O'M.\alpha } \over {{{90}^0}}}[2]\]
[Vì \[OM = 2OM\]]
Từ [1] và [2] \[\Rightarrow {l_\overparen{MB}}={l_\overparen{MA}}\].
loigiaihay.com