Đề bài
Cho từ giác \[ABCD\] nội tiếp được và có các cạnh \[a,b, c, d\]. Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được tính theo công thức sau:
\[S = \sqrt {[p - a][p - b][p - c][p - d]} \],trong đó \[p\] là nửa chu vi tứ giác.
Lời giải chi tiết
Giải
Giả sử \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là \[a, b, c, d\] [h.65].
Khi đó \[\widehat A + \widehat C = {180^0}\] nên \[\sin C= \sin A ; \cos C= -\cos A.\]
Ta có
\[S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}}\]
\[= \dfrac{1}{2}ad\sin A + \dfrac{1}{2}bc\sin C\]
hay \[2S = [ad + bc]\sin A\], suy ra \[\sin A = \dfrac{{2S}}{{ad + bc}}\].
Mặt khác, tam giác ABD có \[B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A\], còn tam giác CBD có \[B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C\] \[ = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\].
Suy ra \[{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2[ad + bc]\cos A\] nên \[\cos A = \dfrac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2[ad + bc]}}\].
Do \[{\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1\] nên \[16{S^2} + {[{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}]^2}\] \[ = 4{[ad + bc]^2}\].
Vậy \[16{S^2} = {\left[ {2[ad + bc]} \right]^2} - {[{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}]^2}\]
\[\begin{array}{l} = [2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}]\\[2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2}]\\ = \left[ {{{[a + d]}^2} - {{[b - c]}^2}} \right].\left[ {{{[b + c]}^2} - {{[a - d]}^2}} \right]\\ = [a + d + b - c][a + d - b + c]\\[b + c + a - d][b + c - a + d]\\ = [2p - 2c][2p - 2b][2p - 2d][2p - 2a]\\ = 16[p - a][p - b][p - c][p - d].\end{array}\]
Từ đó ta có \[S = \sqrt {[p - a][p - b][p - c][p - d]} \].