Đề bài
Cho số \[m > 0\]. Chứng minh rằng hypebol \[[H]\] có các tiêu điểm \[{F_1}[ - m ; - m], {F_2}[m ; m]\] và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên \[[H]\] tới các tiêu điểm là \[2m,\] có phương trình \[xy = \dfrac{{{m^2}}}{2}\].
Lời giải chi tiết
Xét điểm tùy ý \[M[x ; y] \in [H]\]. Ta có
\[\begin{array}{l}M \in [H] \Leftrightarrow |M{F_1} - M{F_2}| = 2m\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{[x + m]}^2} + {{[y + m]}^2}} - \sqrt {{{[x - m]}^2} + {{[y - m]}^2}} } \right| = 2m\\ \Leftrightarrow {[x + m]^2} + {[y + m]^2} + {[x - m]^2} + {[y - m]^2}\\ - 2\sqrt {{{[x + m]}^2} + {{[y + m]}^2}} .\sqrt {{{[x - m]}^2} + {{[y - m]}^2}} = 4{m^2} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} + [2mx + 2my]} \\.\sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} - [2mx + 2my]} \\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]^2} = {\left[ {{x^2} + {y^2} + 2{m^2}} \right]^2} - {[2mx + 2my]^2}\\ \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{m^2}}}{2}.\end{array}\]
Chú ý rằng: Với \[m = \sqrt 2 \] ta có hypebol \[y = \dfrac{1}{x}\].